Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a derivada de uma função composta do tipo g(x)=\sqrt[5]{u(x)}, onde u(x) é uma soma de potências. Vamos usar a regra da cadeia e as regras de derivação de soma e potência.
Passo 2
Definimos as funções internas: A(x)=x{3}-2x{2}+5x-9 e B(x)=x^{2}-3x+1. Então u(x)=A(x){2}+B(x){5}.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para g(x)=(u(x))^{1/5}. A derivada é dadas por g’(x)=\frac{1}{5}u(x)^{\tfrac{1}{5}-1}\cdot u’(x).
Passo 4
Para encontrar u’(x), derivamos termo a termo:
e
. Logo u’(x)=2A(x)A’(x)+5B(x)^{4}B’(x).
Passo 5
Agora calculamos A’(x) e B’(x):
e
.
Passo 6
Substituímos tudo na expressão de g’(x) e simplificamos:
Resposta
g’(x)=\frac{1}{5}\bigl[(x{3}-2x{2}+5x-9){2}+(x{2}-3x+1){5}\bigr]{-\tfrac{4}{5}}\Bigl[2(x{3}-2x{2}+5x-9)(3x{2}-4x+5)+5(x{2}-3x+1)^{4}(2x-3)\Bigr]