Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
g(x)=raiz[5](x^3-2 x^2+5 x-9)^2+(x^2-3 x+1)^5

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a derivada de uma função composta do tipo g(x)=\sqrt[5]{u(x)}, onde u(x) é uma soma de potências. Vamos usar a regra da cadeia e as regras de derivação de soma e potência.

Passo 2

Definimos as funções internas: A(x)=x{3}-2x{2}+5x-9 e B(x)=x^{2}-3x+1. Então u(x)=A(x){2}+B(x){5}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para g(x)=(u(x))^{1/5}. A derivada é dadas por g’(x)=\frac{1}{5}u(x)^{\tfrac{1}{5}-1}\cdot u’(x).

Passo 4

Para encontrar u’(x), derivamos termo a termo: ddx[A(x)^2]=2A(x)cdot A'(x) e ddx[B(x)^5]=5B(x)^4cdot B'(x). Logo u’(x)=2A(x)A’(x)+5B(x)^{4}B’(x).

Passo 5

Agora calculamos A’(x) e B’(x): A'(x)=3x^2-4x+5 e B'(x)=2x-3.

Passo 6

Substituímos tudo na expressão de g’(x) e simplificamos:
g'(x)=15l[A(x)^2+B(x)^5r]^-tfrac45l(2A(x)(3x^2-4x+5)+5B(x)^4(2x-3)r)

Resposta

g’(x)=\frac{1}{5}\bigl[(x{3}-2x{2}+5x-9){2}+(x{2}-3x+1){5}\bigr]{-\tfrac{4}{5}}\Bigl[2(x{3}-2x{2}+5x-9)(3x{2}-4x+5)+5(x{2}-3x+1)^{4}(2x-3)\Bigr]

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