Verifique se as sequēncias abaixo são monótonas e limitadas
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou! A gente precisa verificar se a sequência $ d_n = \frac{e^{n}}{n} $ é monótona e limitada. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, onde estudamos como os termos de uma sequência se comportam conforme $ n $ aumenta. Vamos precisar entender o que significa uma sequência ser monótona (crescente ou decrescente) e limitada (ter limites superiores e inferiores).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo for maior ou igual ao termo anterior, ou monótona decrescente se cada termo for menor ou igual ao anterior. Para isso, podemos comparar o termo geral $ d_n $ com $ d_{n+1} $.
Vamos calcular a razão entre $ d_{n+1} $ e $ d_n $:
Simplificando:
Agora, analisamos o valor dessa razão. Sabemos que $ e $ é aproximadamente 2,718, e $ \frac{n}{n+1} $ é um número que se aproxima de 1 conforme $ n $ cresce.
Passo 3
Vamos entender o que isso significa. Se $ \frac{d_{n+1}}{d_n} > 1 $, então $ d_{n+1} > d_n $, o que indicaria que a sequência está crescendo. Se for menor que 1, a sequência estaria decrescendo.
Analisando:
Sabemos que $ e > 1 $ e $ \frac{n}{n+1} < 1 $, mas a multiplicação de $ e $ por um número um pouco menor que 1 ainda pode resultar em um número maior que 1. Vamos ver:
Para $ n = 1 $:
Para $ n = 2 $:
E assim por diante. Como $ \frac{n}{n+1} $ se aproxima de 1 quando $ n $ aumenta, temos que $ e \cdot \frac{n}{n+1} $ ainda será maior que 1 para todos os $ n $ naturais. Isso significa que $ d_{n+1} > d_n $ para todo $ n $, então a sequência é monótona crescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real que serve como um limite superior para todos os seus termos.
Observando a expressão $ d_n = \frac{e^{n}}{n}
e^{n}
n $). Sabemos que, para grandes valores de $ n $, o crescimento exponencial supera o linear, fazendo com que $ d_n $ cresça sem limites.
Matematicamente, podemos verificar o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Como o limite é infinito, isso significa que a sequência não tem um limite superior finito, ou seja, ela não é limitada.
Resposta
A sequência $ d_n = \frac{e^{n}}{n} $ é monótona crescente e não limitada.