Calcule a área da região delimitada por y >= x^2+1 e y <= x+1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 + 1 (parábola) e y = x + 1 (reta). O conteúdo da matéria é cálculo de área entre duas funções usando integrais definidas, em que a área é dada por integrala^b l(fsup(x) - finf(x)r),dx.

Passo 2

Igualamos as duas funções para achar os pontos de interseção:
x^2 + 1 = x + 1 implies x^2 - x = 0 implies x(x - 1) = 0
Logo, as interseções ocorrem em x = 0 e x = 1. Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima entre x=0 e x=1. Para, digamos, x=0,5:
x^2 + 1 = 1,25 e x + 1 = 1,5.
Como 1,5 > 1,25, a reta y = x+1 é a função superior e a parábola y = x^2 + 1 é a inferior.

Passo 4

Montamos então a integral para a área:
Área = integral0^1 l[(x+1) - (x^2+1)r] ,dx = integral0^1 (x - x^2) ,dxÁ

Passo 5

Calculamos a integral:
Antiderivada de x - x^2 é x^22 - x^33. Avaliando de 0 a 1:
(1^22 - 1^33) - (0) = 12 - 13 = 16

Resposta

dfrac16

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