Calcule a área da região delimitadas pelas curvas cujas equações são: y=|x-2| e y=-x^{2}+4 x-2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=|x-2| e y=-x^{2}+4x-2.
Informações dadas:
  • Curva 1: y = |x-2|.
  • Curva 2: y = -x^{2}+4x-2.
O que é pedido:
  • Calcular a área da região comum limitada por essas duas curvas (a área entre elas, nos pontos de interseção).

Passo 2

Entendendo a função valor absoluto y=|x-2|: ela é definida por duas expressões dependendo do sinal de x-2.
  • Se x\ge 2, então |x-2| = x-2.
  • Se x<2, então |x-2| = 2-x.
Vamos usar essa definição por partes para achar as interseções com o polinômio.

Passo 3

Encontrar as interseções resolvendo |x-2| = -x^{2}+4x-2 em cada caso.
Caso x\ge 2: substitui |x-2| = x-2.
x-2 = -x^{2}+4x-2.
Levo tudo para um lado:
0 = -x^{2}+4x-2 -x +2 = -x^{2}+3x.
Fatorando:
-x^{2}+3x = x(-x+3)=0.
Soluções: x=0 ou x=3. Pela condição x\ge 2, só vale x=3.
Caso x<2: substitui |x-2| = 2-x.
2-x = -x^{2}+4x-2.
Levo tudo para um lado:
0 = -x^{2}+4x-2 -2 + x = -x^{2}+5x-4.
Multiplicando por -1:
x^{2}-5x+4=0.
Fatorando:
(x-1)(x-4)=0.
Soluções: x=1 ou x=4. Pela condição x<2, só vale x=1.
Portanto os pontos de interseção em x são x=1 e x=3.

Passo 4

Calcular as ordenadas nesses pontos para confirmar os pontos de interseção:
  • Em x=1: y=-1+4-2=1 e |1-2|=1. Logo ponto (1,1).
  • Em x=3: y=-9+12-2=1 e |3-2|=1. Logo ponto (3,1).
A região limitada está entre x=1 e x=3.

Passo 5

Decidir qual curva é a superior (a que fica acima) no intervalo [1,3]. Basta avaliar em um ponto intermediário, por exemplo x=2:
  • Para a parábola: -2^{2}+4\cdot2-2 = -4+8-2 = 2.
  • Para o valor absoluto: |2-2| = 0.
Como 2>0, a parábola y=-x^{2}+4x-2 está acima de y=|x-2| em x=2. Como as interseções em x=1 e x=3 são as únicas, conclui-se que, para todo x\in[1,3], a parábola é a função superior e |x-2| é a inferior.

Passo 6

Fórmula da área entre curvas: se em [a,b] a função f(x) está sobre g(x), então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)=-x^{2}+4x-2 e g(x)=|x-2|. Como g(x) muda de expressão em x=2, devemos dividir a integral em dois pedaços:
\text{Área}=\int_{1}^{2}\bigl(-x^{2}+4x-2-(2-x)\bigr)\,dx +\int_{2}^{3}\bigl(-x^{2}+4x-2-(x-2)\bigr)\,dx.Á

Passo 7

Simplificar os integrandos.
Para x\in[1,2]: |x-2|=2-x, então o integrando é
-x^{2}+4x-2-(2-x) = -x^{2}+5x-4.
Para x\in[2,3]: |x-2|=x-2, então o integrando é
-x^{2}+4x-2-(x-2) = -x^{2}+3x.
Logo
\text{Área}=\int_{1}^{2}\bigl(-x^{2}+5x-4\bigr)\,dx + \int_{2}^{3}\bigl(-x^{2}+3x\bigr)\,dx.Á

Passo 8

Calcular a primeira integral. Antiderivada de -x^{2}+5x-4 é
\int\bigl(-x^{2}+5x-4\bigr)\,dx = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{5x^{2}}{2}-4x.
Avalio de 1 a 2:
No x=2:
-\frac{2^{3}}{3}+\frac{5\cdot2^{2}}{2}-4\cdot2 = -\frac{8}{3}+\frac{20}{2}-8 = -\frac{8}{3}+10-8 = -\frac{8}{3}+2 = -\frac{2}{3}.
No x=1:
-\frac{1^{3}}{3}+\frac{5\cdot1^{2}}{2}-4\cdot1 = -\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-4 = -\frac{1}{3}-\frac{3}{2} = -\frac{11}{6}.
Diferença:
\int_{1}^{2}\bigl(-x^{2}+5x-4\bigr)\,dx = -\frac{2}{3} -\bigl(-\frac{11}{6}\bigr) = \frac{7}{6}.

Passo 9

Calcular a segunda integral. Antiderivada de -x^{2}+3x é
\int\bigl(-x^{2}+3x\bigr)\,dx = -\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}.
Avalio de 2 a 3:
No x=3:
-\frac{27}{3}+\frac{3\cdot9}{2} = -9+\frac{27}{2} = \frac{9}{2}.
No x=2:
-\frac{8}{3}+\frac{3\cdot4}{2} = -\frac{8}{3}+6 = \frac{10}{3}.
Diferença:
\int_{2}^{3}\bigl(-x^{2}+3x\bigr)\,dx = \frac{9}{2}-\frac{10}{3} = \frac{27-20}{6} = \frac{7}{6}.

Passo 10

Somar as duas contribuições:
\text{Área} = \frac{7}{6} + \frac{7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}.Á

Resposta

\dfrac{7}{3}

Exercícios relacionados