Calcule a área da região delimitadas pelas curvas cujas equações são:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
.
O que é pedido:
- Calcular a área da região comum limitada por essas duas curvas (a área entre elas, nos pontos de interseção).
Passo 2
Entendendo a função valor absoluto
: ela é definida por duas expressões dependendo do sinal de
.
- Se
, então . - Se
, então .
Vamos usar essa definição por partes para achar as interseções com o polinômio.
Passo 3
Encontrar as interseções resolvendo
em cada caso.
Caso
: substitui
.
Levo tudo para um lado:
Fatorando:
Soluções:
ou
. Pela condição
, só vale
.
Caso
: substitui
.
Levo tudo para um lado:
Multiplicando por
:
Fatorando:
Soluções:
ou
. Pela condição
, só vale
.
Portanto os pontos de interseção em
são
e
.
Passo 4
Calcular as ordenadas nesses pontos para confirmar os pontos de interseção:
- Em
: e . Logo ponto . - Em
: e . Logo ponto .
A região limitada está entre
e
.
Passo 5
Decidir qual curva é a superior (a que fica acima) no intervalo
. Basta avaliar em um ponto intermediário, por exemplo
:
- Para a parábola:
. - Para o valor absoluto:
.
Como
, a parábola
está acima de
em
. Como as interseções em
e
são as únicas, conclui-se que, para todo
, a parábola é a função superior e
é a inferior.
Passo 6
Fórmula da área entre curvas: se em
a função
está sobre
, então a área é
Aqui
e
. Como
muda de expressão em
, devemos dividir a integral em dois pedaços:
Passo 7
Simplificar os integrandos.
Para
:
, então o integrando é
Para
:
, então o integrando é
Logo
Passo 8
Calcular a primeira integral. Antiderivada de
é
Avalio de
a
:
No :
No
No
:
Diferença:
Passo 9
Calcular a segunda integral. Antiderivada de
é
Avalio de
a
:
No :
No
No
:
Diferença:
Passo 10
Somar as duas contribuições: