- A temperatura em uma regiāo do plano
é dada por
a) Qual o lugar geométrico dos pontos cuja temperatura é constante e igual
?
b) Determine a curva isotérmica que passa pelo ponto
a) Qual o lugar geométrico dos pontos cuja temperatura é constante e igual
b) Determine a curva isotérmica que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado dá a temperatura na região do plano
pela função
O que pede:
- (a) Encontrar o lugar geométrico (conjunto de pontos) onde a temperatura é constante e igual a
. - (b) Determinar a curva isotérmica (ou seja, o nível de temperatura) que passa pelo ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
(peguei isso do enunciado). - O ponto
(peguei isso do enunciado). - Observação útil: a função envolve
, que é sempre não negativa; a função não está definida no ponto (porque daria divisão por zero).
Passo 2
Entendendo o que é um lugar geométrico de temperatura constante e o que é uma curva isotérmica (mini-aula rápida e prática).
- Uma curva isotérmica (ou nível de temperatura) para um valor fixo
é o conjunto de pontos tais que
- Para a nossa
, isso significa resolver
para
. Isso gera uma equação envolvendo
. A estratégia típica é isolar a raiz e depois elevar ao quadrado, tendo sempre o cuidado de que
é não negativa, logo não introduzimos soluções espúrias ao quadrar se respeitarmos sinais.
Passo 3
Resolver (a): lugar geométrico onde
.
Coloco a igualdade e resolvo passo a passo:
Coloco a igualdade e resolvo passo a passo:
Isolo a raiz:
Faço a divisão (tudo em TeX):
Agora elevo ao quadrado (explicando: como o membro esquerdo é não negativo, a operação é válida e não cria falsos sinais):
Interpretação geométrica: essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
. Observação: o ponto
não pertence ao domínio original da função
, mas aqui a equação do círculo não inclui
porque
não satisfaz
. Portanto a isoterma é exatamente o círculo de raio
centrado na origem.
Passo 4
Resolver (b): curva isotérmica que passa pelo ponto
.
Estratégia didática: a curva isotérmica que passa por um ponto tem o valor constante igual a nesse ponto. Então primeiro calcule
no ponto dado e depois resolva a equação
esse valor constante.
Estratégia didática: a curva isotérmica que passa por um ponto tem o valor constante igual a
Calculo da distância ao centro (que aparece dentro da raiz). Para o ponto dado:
Logo o valor da temperatura no ponto é
Portanto a curva isotérmica procurada é o conjunto de pontos com
. Resolvo como no item (a):
Interpretação geométrica: é o círculo de centro
e raio
. Confirmamos que o ponto
pertence a esse círculo porque já calculamos que sua distância à origem é
.
Passo 5
Resumo conceitual rápido e dica de prova:
- Para
as isotermas são círculos centrados na origem: cada temperatura constante corresponde ao círculo
- Observação importante:
deve ser positivo (pois para todos os pontos do domínio), e o ponto não pertence ao domínio por causa da divisão por zero. - Palavra amiga: respira! Aqui o raciocínio é sempre o mesmo: iguala
ao valor pedido, isola a raiz e quadruplica (elevar ao quadrado), identifica a curva (aqui, um círculo). Isso funciona bem em prova quando aparece separação radial como essa.
Resposta
(a)
(círculo de centro
e raio
).
(b) (círculo de centro
e raio
).
(b)