1. A temperatura em uma regiāo do plano x y é dada por T(x, y)=\frac{12}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
    a) Qual o lugar geométrico dos pontos cuja temperatura é constante e igual 4^{\circ} ?
    b) Determine a curva isotérmica que passa pelo ponto (4,2 \sqrt{5})

Passo 1

O enunciado dá a temperatura na região do plano xy pela função
T(x,y)=\frac{12}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O que pede:
  • (a) Encontrar o lugar geométrico (conjunto de pontos) onde a temperatura é constante e igual a 4^\circ.
  • (b) Determinar a curva isotérmica (ou seja, o nível de temperatura) que passa pelo ponto (4,2\sqrt{5}).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de T(x,y) (peguei isso do enunciado).
  • O ponto (4,2\sqrt{5}) (peguei isso do enunciado).
  • Observação útil: a função envolve \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é sempre não negativa; a função não está definida no ponto (0,0) (porque daria divisão por zero).

Passo 2

Entendendo o que é um lugar geométrico de temperatura constante e o que é uma curva isotérmica (mini-aula rápida e prática).
  • Uma curva isotérmica (ou nível de temperatura) para um valor fixo k é o conjunto de pontos (x,y) tais que
T(x,y)=k.
  • Para a nossa T, isso significa resolver
\frac{12}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=k
para (x,y). Isso gera uma equação envolvendo \sqrt{x^{2}+y^{2}}. A estratégia típica é isolar a raiz e depois elevar ao quadrado, tendo sempre o cuidado de que \sqrt{\cdot} é não negativa, logo não introduzimos soluções espúrias ao quadrar se respeitarmos sinais.

Passo 3

Resolver (a): lugar geométrico onde T(x,y)=4^\circ.
Coloco a igualdade e resolvo passo a passo:
\frac{12}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=4.
Isolo a raiz:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{12}{4}.
Faço a divisão (tudo em TeX):
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=3.
Agora elevo ao quadrado (explicando: como o membro esquerdo é não negativo, a operação é válida e não cria falsos sinais):
x^{2}+y^{2}=9.
Interpretação geométrica: essa é a equação de um círculo com centro em (0,0) e raio 3. Observação: o ponto (0,0) não pertence ao domínio original da função T, mas aqui a equação do círculo não inclui (0,0) porque (0,0) não satisfaz x^{2}+y^{2}=9. Portanto a isoterma é exatamente o círculo de raio 3 centrado na origem.

Passo 4

Resolver (b): curva isotérmica que passa pelo ponto (4,2\sqrt{5}).
Estratégia didática: a curva isotérmica que passa por um ponto tem o valor constante igual a T nesse ponto. Então primeiro calcule T no ponto dado e depois resolva a equação T(x,y)= esse valor constante.
Calculo da distância ao centro (que aparece dentro da raiz). Para o ponto dado:
\sqrt{4^{2}+\bigl(2\sqrt{5}\bigr)^{2}}=\sqrt{16+4\cdot5}=\sqrt{16+20}=\sqrt{36}=6.
Logo o valor da temperatura no ponto é
T(4,2\sqrt{5})=\frac{12}{6}=2.
Portanto a curva isotérmica procurada é o conjunto de pontos com T(x,y)=2. Resolvo como no item (a):
\frac{12}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=2
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{12}{2}=6
x^{2}+y^{2}=36.
Interpretação geométrica: é o círculo de centro (0,0) e raio 6. Confirmamos que o ponto (4,2\sqrt{5}) pertence a esse círculo porque já calculamos que sua distância à origem é 6.

Passo 5

Resumo conceitual rápido e dica de prova:
  • Para T(x,y)=\dfrac{12}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} as isotermas são círculos centrados na origem: cada temperatura constante k>0 corresponde ao círculo
x^{2}+y^{2}=\left(\frac{12}{k}\right)^{2}.
  • Observação importante: k deve ser positivo (pois T>0 para todos os pontos do domínio), e o ponto (0,0) não pertence ao domínio por causa da divisão por zero.
  • Palavra amiga: respira! Aqui o raciocínio é sempre o mesmo: iguala T ao valor pedido, isola a raiz e quadruplica (elevar ao quadrado), identifica a curva (aqui, um círculo). Isso funciona bem em prova quando aparece separação radial como essa.

Resposta

(a) x^{2}+y^{2}=9 (círculo de centro (0,0) e raio 3).
(b) x^{2}+y^{2}=36 (círculo de centro (0,0) e raio 6).

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