Calcule a área da região delimitadas pelas curvas cujas equações são:
e
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede a área da região limitada por elas. As informações fornecidas são:
- Curva 1:
. - Curva 2:
.
O que é pedido:
- Calcular a área da região do plano limitada pelas duas curvas acima.
Observações iniciais (dados extraídos do enunciado):
- Ambas as equações envolvem
, então as curvas são simétricas em relação ao eixo . - É possível reescrever a primeira equação isolando
: a partir de obtém-se . Assim as duas curvas podem ser vistas como funções de : -
. -
.
-
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas — ou seja, os valores de
em que as duas expressões para
coincidem.
Igualando as duas expressões de
:
Resolver essa equação para
:
Logo,
Portanto as curvas se intersectam nos dois pontos com ordenadas
e
. (As abscissas correspondentes podem ser obtidas substituindo em qualquer das expressões de
se necessário.)
Passo 3
Decidir como calcular a área: integrar em
é a escolha natural aqui porque as equações estão dadas como
em função de
. Vou explicar a ideia usada para calcular área entre curvas no caso de integração em
.
Fórmula e interpretação:
- Se duas curvas são dadas por
e e a região está delimitada verticalmente entre e , então a área dessa região é
- Aqui, a variável de integração
varia de até , e para cada a largura da fatia horizontal é . Integrando essas larguras ao longo de obtém-se a área.
Aplicando ao nosso caso, para cada
entre
e
temos:
-
. -
.
Precisamos identificar qual é a função que fornece a abscissa da borda direita (maior
) e qual a da borda esquerda (menor
), para usar a fórmula acima. Calcular a diferença:
No intervalo
, temos
e assim
. Isso mostra que
nesse intervalo — ou seja, a curva
é a borda direita e
é a borda esquerda da região limitada.
Portanto a área pedida é
Passo 4
Simplificar o integrando e aproveitar simetria para facilitar o cálculo.
Calcular o integrando:
Notar que
é uma função par em
(ou seja, depende de
apenas). Quando o integrando é par e os limites são simétricos (
a
), é conveniente usar a simetria:
Isso reduz trabalho e é seguro porque a função é igual para
e
.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo (antiderivadas e avaliação).
Primeiro, achar a antiderivada de
:
- Antiderivada de
em relação a é . - Antiderivada de
é .
Portanto uma antiderivada é
Agora avaliar a integral usando a simetria:
Calcular
:
Lembrando que
, obtemos
E
. Assim
Multiplicando por
pela simetria:
Passo 6
Interpretação final e dica rápida para prova:
- A área da região limitada por
e é . - Dica: quando as curvas estão expressas como
e , pensar em integrar em com . Sempre verifique qual é a borda direita (maior ) subtraindo as expressões e confirmando o sinal no intervalo de interesse. Aproveite simetrias (como função par) para reduzir trabalho.