Calcule a área da região delimitadas pelas curvas cujas equações são: y^{2}=4+x e x=2-y^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede a área da região limitada por elas. As informações fornecidas são:
  • Curva 1: y^{2}=4+x.
  • Curva 2: x=2-y^{2}.
O que é pedido:
  • Calcular a área da região do plano limitada pelas duas curvas acima.
Observações iniciais (dados extraídos do enunciado):
  • Ambas as equações envolvem y^{2}, então as curvas são simétricas em relação ao eixo x.
  • É possível reescrever a primeira equação isolando x: a partir de y^{2}=4+x obtém-se x=y^{2}-4. Assim as duas curvas podem ser vistas como funções de y:
    • x_{\text{(primeira)}} = y^{2}-4.
    • x_{\text{(segunda)}} = 2-y^{2}.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas — ou seja, os valores de y em que as duas expressões para x coincidem.
Igualando as duas expressões de x:
y^{2}-4 = 2 - y^{2}.
Resolver essa equação para y:
y^{2} + y^{2} = 2 + 4
2y^{2} = 6
y^{2} = 3
Logo,
y = \pm\sqrt{3}.
Portanto as curvas se intersectam nos dois pontos com ordenadas y=-\sqrt{3} e y=+\sqrt{3}. (As abscissas correspondentes podem ser obtidas substituindo em qualquer das expressões de x se necessário.)

Passo 3

Decidir como calcular a área: integrar em y é a escolha natural aqui porque as equações estão dadas como x em função de y. Vou explicar a ideia usada para calcular área entre curvas no caso de integração em y.
Fórmula e interpretação:
  • Se duas curvas são dadas por x = x_{\text{direita}}(y) e x = x_{\text{esquerda}}(y) e a região está delimitada verticalmente entre y=a e y=b, então a área dessa região é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.Á
  • Aqui, a variável de integração y varia de a até b, e para cada y a largura da fatia horizontal é x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y). Integrando essas larguras ao longo de y obtém-se a área.
Aplicando ao nosso caso, para cada y entre -\sqrt{3} e \sqrt{3} temos:
  • x_{\text{(primeira)}}(y)=y^{2}-4.
  • x_{\text{(segunda)}}(y)=2-y^{2}.
Precisamos identificar qual é a função que fornece a abscissa da borda direita (maior x) e qual a da borda esquerda (menor x), para usar a fórmula acima. Calcular a diferença:
x_{\text{segunda}}(y)-x_{\text{primeira}}(y)=(2-y^{2})-(y^{2}-4)=6-2y^{2}.
No intervalo -\sqrt{3}\le y\le\sqrt{3}, temos y^{2}\le 3 e assim 6-2y^{2}\ge 0. Isso mostra que x_{\text{segunda}}(y)\ge x_{\text{primeira}}(y) nesse intervalo — ou seja, a curva x=2-y^{2} é a borda direita e x=y^{2}-4 é a borda esquerda da região limitada.
Portanto a área pedida é
\text{Área}=\int_{y=-\sqrt{3}}^{y=\sqrt{3}}\bigl[(2-y^{2})-(y^{2}-4)\bigr]\,dy.Á

Passo 4

Simplificar o integrando e aproveitar simetria para facilitar o cálculo.
Calcular o integrando:
(2-y^{2})-(y^{2}-4)=6-2y^{2}.
Notar que 6-2y^{2} é uma função par em y (ou seja, depende de y^{2} apenas). Quando o integrando é par e os limites são simétricos ( -\sqrt{3} a \sqrt{3}), é conveniente usar a simetria:
\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(6-2y^{2})\,dy = 2\int_{0}^{\sqrt{3}}(6-2y^{2})\,dy.
Isso reduz trabalho e é seguro porque a função é igual para y e -y.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (antiderivadas e avaliação).
Primeiro, achar a antiderivada de 6-2y^{2}:
  • Antiderivada de 6 em relação a y é 6y.
  • Antiderivada de -2y^{2} é -2\cdot \dfrac{y^{3}}{3} = -\dfrac{2}{3}y^{3}.
Portanto uma antiderivada é
F(y)=6y-\dfrac{2}{3}y^{3}.
Agora avaliar a integral usando a simetria:
\text{Área}=2\int_{0}^{\sqrt{3}}(6-2y^{2})\,dy = 2\bigl[F(y)\bigr]_{0}^{\sqrt{3}}.Á
Calcular F(\sqrt{3}):
F(\sqrt{3})=6\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}(\sqrt{3})^{3}.
Lembrando que (\sqrt{3})^{3}=\sqrt{3}\cdot 3 = 3\sqrt{3}, obtemos
F(\sqrt{3})=6\sqrt{3}-\dfrac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.
E F(0)=0. Assim
\int_{0}^{\sqrt{3}}(6-2y^{2})\,dy = 4\sqrt{3}.
Multiplicando por 2 pela simetria:
\text{Área}=2\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}.Á

Passo 6

Interpretação final e dica rápida para prova:
  • A área da região limitada por y^{2}=4+x e x=2-y^{2} é \,8\sqrt{3}.
  • Dica: quando as curvas estão expressas como x=f(y) e x=g(y), pensar em integrar em y com \int (f-g)\,dy. Sempre verifique qual é a borda direita (maior x) subtraindo as expressões e confirmando o sinal no intervalo de interesse. Aproveite simetrias (como função par) para reduzir trabalho.

Resposta

8\sqrt{3}

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