O enunciado dá que z=f(x,y) com f diferenciável e que x=g(t), y=h(t). Os dados num ponto t=3 são (peguei todos estes valores do enunciado):
g(3)=2
h(3)=7
g'(3)=5
h'(3)=-4
f_x(2,7)=6
f_y(2,7)=-8
O que se pede: determinar \dfrac{dz}{dt} quando t=3.
Passo 2
Conceito útil (cadeia para funções de várias variáveis). Se z=f(x,y) é diferenciável e x=x(t), y=y(t) são diferenciáveis, então a variação de z quando t varia é dada pela regra da cadeia multivariável:
f_x(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x, isto é, a taxa de variação de z quando só x muda e y fica fixo.
f_y(x,y) é a derivada parcial de f em relação a y.
\dfrac{dx}{dt}=g'(t) e \dfrac{dy}{dt}=h'(t) são as taxas de variação de x e y em função de t.
A ideia por trás da fórmula: uma pequena mudança \Delta t causa \Delta x\approx x'(t)\Delta t e \Delta y\approx y'(t)\Delta t; pela diferenciabilidade,
\Delta z \approx f_x\Delta x + f_y\Delta y \approx \big(f_x x'(t)+f_y y'(t)\big)\Delta t,
dividindo por \Delta t e passando ao limite obtemos a fórmula acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula no ponto t=3. Substituindo x(3)=g(3)=2 e y(3)=h(3)=7 para avaliar as parciais no ponto correto, e usando as derivadas de g e h:
Interpretação curta e ânimo: o resultado significa que, naquele instante t=3, aumentando t um pouquinho em 1 unidade, z aumenta aproximadamente 62 unidades. Está indo bem — essa regra da cadeia é super útil e aparece direto em provas; decorando a fórmula e sabendo interpretar parciais e derivadas é ótimo.