Se z=f(x, y), onde f é diferenciável, e
\begin{array}{rlrl} x & =g(t) & y & =h(t) \\\ g(3) & =2 & h(3) & =7 \\\ g^{\prime}(3) & =5 & h^{\prime}(3) & =-4, \\\ f_{x}(2,7) & =6 & f_{y}(2,7) & =-8 \end{array}
determine d z / d t quando t=3.

Passo 1

O enunciado dá que z=f(x,y) com f diferenciável e que x=g(t), y=h(t). Os dados num ponto t=3 são (peguei todos estes valores do enunciado):
  • g(3)=2
  • h(3)=7
  • g'(3)=5
  • h'(3)=-4
  • f_x(2,7)=6
  • f_y(2,7)=-8
O que se pede: determinar \dfrac{dz}{dt} quando t=3.

Passo 2

Conceito útil (cadeia para funções de várias variáveis). Se z=f(x,y) é diferenciável e x=x(t), y=y(t) são diferenciáveis, então a variação de z quando t varia é dada pela regra da cadeia multivariável:
\frac{dz}{dt}=f_x(x(t),y(t))\cdot \frac{dx}{dt}+f_y(x(t),y(t))\cdot \frac{dy}{dt}.
Explicando devagar:
  • f_x(x,y) é a derivada parcial de f em relação a x, isto é, a taxa de variação de z quando só x muda e y fica fixo.
  • f_y(x,y) é a derivada parcial de f em relação a y.
  • \dfrac{dx}{dt}=g'(t) e \dfrac{dy}{dt}=h'(t) são as taxas de variação de x e y em função de t.
    A ideia por trás da fórmula: uma pequena mudança \Delta t causa \Delta x\approx x'(t)\Delta t e \Delta y\approx y'(t)\Delta t; pela diferenciabilidade,
\Delta z \approx f_x\Delta x + f_y\Delta y \approx \big(f_x x'(t)+f_y y'(t)\big)\Delta t,
dividindo por \Delta t e passando ao limite obtemos a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula no ponto t=3. Substituindo x(3)=g(3)=2 e y(3)=h(3)=7 para avaliar as parciais no ponto correto, e usando as derivadas de g e h:
\frac{dz}{dt}\Big|_{t=3}=f_x(2,7)\cdot g'(3)+f_y(2,7)\cdot h'(3).

Passo 4

Agora substituo os números fornecidos:
\frac{dz}{dt}\Big|_{t=3}=6\cdot 5 + (-8)\cdot (-4).
Calcule passo a passo:
6\cdot 5 = 30, \qquad (-8)\cdot (-4)=32.
Somando,
30+32=62.

Passo 5

Interpretação curta e ânimo: o resultado significa que, naquele instante t=3, aumentando t um pouquinho em 1 unidade, z aumenta aproximadamente 62 unidades. Está indo bem — essa regra da cadeia é super útil e aparece direto em provas; decorando a fórmula e sabendo interpretar parciais e derivadas é ótimo.

Resposta

62

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