Considere que
é o comprimento do peixe no instante t da sua vida, C é o comprimento máximo esperado e k é o coeficiente de crescimento. A taxa de crescimento do peixe é proporcional ao comprimento que ainda falta para atingir o comprimento máximo C com
. Supondo que o comprimento inicial medido LO é 5 cm ,
, e que o tempo seja medido em dias, encontre o comprimento do peixe para todo
. Também encontre quantos dias serão necessários para os peixes atingirem 99\% de seu comprimento máximo.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! A gente tem um peixe que está crescendo ao longo do tempo. O comprimento do peixe em um determinado dia
é representado por
. Sabemos que o comprimento inicial do peixe é de 5 cm, o comprimento máximo que ele pode atingir é de 30 cm, e a taxa de crescimento está relacionada a um coeficiente
. Queremos descobrir duas coisas:
- Como o comprimento do peixe varia com o tempo para qualquer dia
. - Quantos dias o peixe leva para atingir 99% do comprimento máximo, ou seja, cerca de 29,7 cm.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais, que são ferramentas matemáticas para modelar como algo muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como modelar o crescimento do peixe. A taxa de crescimento do peixe, ou seja, a rapidez com que seu comprimento está aumentando, é proporcional ao comprimento que ainda falta para ele atingir o comprimento máximo
cm. Isso pode ser traduzido em uma equação matemática:
Aqui,
representa a taxa de variação do comprimento do peixe em relação ao tempo,
é o coeficiente de crescimento, e
é o comprimento que falta para o peixe atingir seu tamanho máximo.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa Equação Diferencial para encontrar
. A equação é uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem e pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis.
Primeiro, reescrevemos a equação:
Podemos rearranjar para separar as variáveis
e
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral do lado esquerdo é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Onde
. Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Vamos chamar
de
(já que
é apenas uma constante):
Então, isolando
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
usando a condição inicial. Sabemos que no tempo
, o comprimento
cm. Substituindo esses valores na equação:
Como
:
Resolvendо para
:
Então, nossa equação para
fica:
Passo 7
Agora, vamos encontrar quantos dias são necessários para o peixe atingir 99% do comprimento máximo, ou seja,
cm.
Usamos a equação que encontramos:
Primeiro, subtraímos 30 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Dividindo por 25:
Para resolver para
, usamos o logaritmo natural:
Calculando
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
O comprimento do peixe em qualquer dia
é dado por:
E são necessários aproximadamente 44,23 dias para o peixe atingir 99% do seu comprimento máximo.