Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos direto ao assunto! A questão nos pede para determinar se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, que estuda o comportamento de sequências numéricas à medida que
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “convergir” ou “divergir”. Uma sequência converge se ela se aproxima de um valor específico à medida que
aumenta indefinidamente. Esse valor é chamado de limite da sequência. Se a sequência não se aproxima de nenhum valor específico, dizemos que ela diverge.
Passo 3
Vamos analisar a nossa sequência:
. Conforme
aumenta, o denominador
também aumenta. Isso significa que a fração
fica cada vez menor, porque estamos dividindo um número fixo (5) por um número que cresce sem limites.
Passo 4
Matematicamente, para encontrar o limite quando
tende ao infinito, fazemos:
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto, a fração
tende a zero.
Passo 5
Como a sequência está se aproximando de zero conforme
aumenta, concluímos que a sequência converge. O limite da sequência é 0.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 0.