Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=5n+2

Passo 1

Beleza, vamos direto ao assunto! A questão nos pede para determinar se a sequência an = 5n+2 converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, que estuda o comportamento de sequências numéricas à medida que n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “convergir” ou “divergir”. Uma sequência converge se ela se aproxima de um valor específico à medida que n aumenta indefinidamente. Esse valor é chamado de limite da sequência. Se a sequência não se aproxima de nenhum valor específico, dizemos que ela diverge.

Passo 3

Vamos analisar a nossa sequência: an = 5n+2 . Conforme n aumenta, o denominador n+2 também aumenta. Isso significa que a fração 5n+2 fica cada vez menor, porque estamos dividindo um número fixo (5) por um número que cresce sem limites.

Passo 4

Matematicamente, para encontrar o limite quando n tende ao infinito, fazemos:
limn to infty 5n+2
Quando n tende ao infinito, n + 2 também tende ao infinito. Portanto, a fração 5n+2 tende a zero.

Passo 5

Como a sequência está se aproximando de zero conforme n aumenta, concluímos que a sequência converge. O limite da sequência é 0.

Resposta

A sequência an = 5n+2 converge e seu limite é 0.

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