Calcule a área da região descrita por
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região do plano que satisfaz as desigualdades
Informações dadas (tiradas do enunciado):
- O intervalo de
é . - Para cada
nesse intervalo, varia entre a curva inferior e a curva superior .
O que é pedido: - Determinar a área da região delimitada por essas curvas e por
e .
Passo 2
Escolha do método e ideia geométrica (explicação didática, sem assumir conhecimento prévio):
- Quando a região é dada por
e, para cada , varia entre duas funções e , a maneira natural de calcular a área é integrar em usando “tiras verticais”. - Ideia da tira vertical: pegar uma fatia vertical estreita em
de largura . Essa tira tem altura aproximada . A área aproximada da tira é altura vezes largura: . Somando todas as tiras de até (isto é, integrando) obtemos a área exata. - Aqui
e , e . Portanto a área será dada por uma integral definida em .
Passo 3
Montagem da integral de área:
Explicação: integrando de
até
a diferença entre a curva superior e a inferior, obtemos a área pedida.
Passo 4
Cálculo da integral (passo a passo, com introdução às primitivas usadas).
- Separar a integral:
- Primeira integral simples:
Aqui cada símbolo:
é a variável de integração;
é constante de integração (não necessária em integrais definidas, mas útil para ver a primitiva).
- Segunda integral: ensinar
usando integração por partes.
- Fórmula de integração por partes: para funções
e ,
Nessa fórmula,
é uma função que escolhemos para derivar facilmente (então calculamos
), e
é a parte que escolhemos para integrar facilmente (então obtemos
).
- Aplicação ao caso
: escolhemos e . Então
- Aplicando a fórmula:
- Concluímos:
- Assim uma primitiva da função integranda
é
- Avaliar a integral definida usando a primitiva
:
Calcular
:
Lembrando que
, obtemos
Calcular
:
Como
, obtemos
Portanto
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida:
- A expressão
é positiva, pois e . Faz sentido: a região tem área positiva. - Método alternativo (rápida observação): poderíamos também integrar em
se quiséssemos, mas aí seria preciso inverter as curvas e isso fica menos direto neste caso; a escolha por integrar em foi natural e simples.