Calcule a área da região descrita por 1 \leq x \leq e \mathrm{e} \ln (x) \leq y \leq x.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região do plano que satisfaz as desigualdades
1 \leq x \leq e,\qquad \ln(x) \leq y \leq x.
Informações dadas (tiradas do enunciado):
  • O intervalo de x é [1,e].
  • Para cada x nesse intervalo, y varia entre a curva inferior y=\ln(x) e a curva superior y=x.
    O que é pedido:
  • Determinar a área da região delimitada por essas curvas e por x=1 e x=e.

Passo 2

Escolha do método e ideia geométrica (explicação didática, sem assumir conhecimento prévio):
  • Quando a região é dada por a\le x\le b e, para cada x, y varia entre duas funções y=y_{\text{inf}}(x) e y=y_{\text{sup}}(x), a maneira natural de calcular a área é integrar em x usando “tiras verticais”.
  • Ideia da tira vertical: pegar uma fatia vertical estreita em x de largura dx. Essa tira tem altura aproximada y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x). A área aproximada da tira é altura vezes largura: (y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x))\,dx. Somando todas as tiras de x=a até x=b (isto é, integrando) obtemos a área exata.
  • Aqui y_{\text{sup}}(x)=x e y_{\text{inf}}(x)=\ln(x), e a=1,\\ b=e. Portanto a área A será dada por uma integral definida em x.

Passo 3

Montagem da integral de área:
A=\int_{1}^{e}\bigl(x-\ln(x)\bigr)\,dx.
Explicação: integrando de x=1 até x=e a diferença entre a curva superior e a inferior, obtemos a área pedida.

Passo 4

Cálculo da integral (passo a passo, com introdução às primitivas usadas).
  1. Separar a integral:
\int_{1}^{e}\bigl(x-\ln(x)\bigr)\,dx=\int_{1}^{e}x\,dx-\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx.
  1. Primeira integral simples:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
Aqui cada símbolo: x é a variável de integração; C é constante de integração (não necessária em integrais definidas, mas útil para ver a primitiva).
  1. Segunda integral: ensinar \int \ln(x)\,dx usando integração por partes.
  • Fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Nessa fórmula, u é uma função que escolhemos para derivar facilmente (então calculamos du), e dv é a parte que escolhemos para integrar facilmente (então obtemos v).
  • Aplicação ao caso \int \ln(x)\,dx: escolhemos u=\ln(x) e dv=dx. Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\int dv=\int dx = x.
  • Aplicando a fórmula:
\int \ln(x)\,dx = u v - \int v\,du = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx.
  • Concluímos:
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C.
  1. Assim uma primitiva da função integranda \bigl(x-\ln(x)\bigr) é
F(x)=\frac{x^{2}}{2} - \bigl(x\ln(x)-x\bigr) = \frac{x^{2}}{2} - x\ln(x) + x.
  1. Avaliar a integral definida usando a primitiva F(x):
A=F(e)-F(1).
Calcular F(e):
F(e)=\frac{e^{2}}{2} - e\ln(e) + e.
Lembrando que \ln(e)=1, obtemos
F(e)=\frac{e^{2}}{2} - e + e = \frac{e^{2}}{2}.
Calcular F(1):
F(1)=\frac{1^{2}}{2} - 1\cdot\ln(1) + 1.
Como \ln(1)=0, obtemos
F(1)=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Portanto
A=\frac{e^{2}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{e^{2}-3}{2}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida:
  • A expressão \dfrac{e^{2}-3}{2} é positiva, pois e^{2}\approx 7{,}389 e 7{,}389-3>0. Faz sentido: a região tem área positiva.
  • Método alternativo (rápida observação): poderíamos também integrar em y se quiséssemos, mas aí seria preciso inverter as curvas e isso fica menos direto neste caso; a escolha por integrar em x foi natural e simples.

Resposta

\dfrac{e^{2}-3}{2}

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