Calcule a integral dupla da função
no conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral dupla da função
no conjunto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio de integração é o retângulo
, ou seja, varia de a e varia de a . - A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Qual método usar e por quê:
- Como o domínio
é um retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini que permite transformar a integral dupla em uma integral iterada. Em palavras simples: integrar numa variável mantendo a outra fixa e depois integrar o resultado na outra variável. - O Teorema de Fubini (forma prática aqui) diz que
ou trocando a ordem,
Vou escolher integrar primeiro em
e depois em
, porque a função é simples em
(polinômio), e isso fica direto na hora da prova.
Lembrete útil (regras que usarei):
- Linearidade da integral:
. - Regra do poder para primitiva:
para . - Se aparecer termo
como constante ao integrar em , trata-se como constante relativa à integração em .
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Usando linearidade, separar:
Tratar
como constante na integral em
:
- Para
: fatorar (constante) e aplicar a regra do poder com :
- Para
: aplicar regra do poder com :
Portanto uma antiderivada em
é
Agora avaliar entre
e
:
- Em
:
- Em
:
Subtrair (valor em
menos valor em
):
Logo a integral interna produziu a função de
Passo 4
Agora integrar essa função em
de
a
:
Aplicar a linearidade e a regra do poder (
):
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é .
Portanto uma primitiva em
é
Avaliar entre
e (x=2$:
- Em
:
- Em
:
Subtrair (valor em
menos valor em
):
Passo 5
Interpretação e checagem rápida:
- O cálculo foi feito passo a passo usando Fubini, linearidade e a regra do poder para integrais de polinômios.
- Os sinais e as subtrações foram tratados com frações comuns para evitar erros de arredondamento.
- O resultado final obtido é
.