Calcule a integral dupla da função
f(x, y)=2 x y-y^{3} no conjunto
B=[1,2] \times[1,2].

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral dupla da função f(x,y)=2xy-y^{3} no conjunto B=[1,2]\times[1,2].
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=2xy-y^{3}.
  • O domínio de integração é o retângulo B=[1,2]\times[1,2], ou seja, x varia de 1 a 2 e y varia de 1 a 2.
  • A pergunta é: calcular \displaystyle \iint_{B} (2xy-y^{3})\,dA.

Passo 2

Qual método usar e por quê:
  • Como o domínio B é um retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini que permite transformar a integral dupla em uma integral iterada. Em palavras simples: integrar numa variável mantendo a outra fixa e depois integrar o resultado na outra variável.
  • O Teorema de Fubini (forma prática aqui) diz que
\iint_{B} f(x,y)\,dA = \int_{x=1}^{2} \left(\int_{y=1}^{2} f(x,y)\,dy \right) dx
ou trocando a ordem,
\iint_{B} f(x,y)\,dA = \int_{y=1}^{2} \left(\int_{x=1}^{2} f(x,y)\,dx \right) dy.
Vou escolher integrar primeiro em y e depois em x, porque a função é simples em y (polinômio), e isso fica direto na hora da prova.
Lembrete útil (regras que usarei):
  • Linearidade da integral: \int (a g + b h) = a\int g + b\int h.
  • Regra do poder para primitiva: \displaystyle \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
  • Se aparecer termo x como constante ao integrar em y, trata-se como constante relativa à integração em y.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=1}^{2} (2xy - y^{3})\,dy.
Usando linearidade, separar:
\int_{1}^{2} 2xy\,dy \;-\; \int_{1}^{2} y^{3}\,dy.
Tratar x como constante na integral em y:
  • Para \int 2xy\,dy: fatorar 2x (constante) e aplicar a regra do poder com n=1:
\int 2xy\,dy = 2x \int y\,dy = 2x \cdot \frac{y^{2}}{2} = x y^{2}.
  • Para \int y^{3}\,dy: aplicar regra do poder com n=3:
\int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4}.
Portanto uma antiderivada em y é
x y^{2} - \frac{y^{4}}{4}.
Agora avaliar entre y=1 e y=2:
  • Em y=2:
x\cdot 2^{2} - \frac{2^{4}}{4} = 4x - \frac{16}{4} = 4x - 4.
  • Em y=1:
x\cdot 1^{2} - \frac{1^{4}}{4} = x - \frac{1}{4}.
Subtrair (valor em 2 menos valor em 1):
(4x-4) - \left(x-\frac{1}{4}\right) = 4x-4 - x + \frac{1}{4} = 3x - \frac{15}{4}.
Logo a integral interna produziu a função de x
\int_{1}^{2} (2xy-y^{3})\,dy = 3x - \frac{15}{4}.

Passo 4

Agora integrar essa função em x de 1 a 2:
\int_{x=1}^{2} \left(3x - \frac{15}{4}\right)\,dx.
Aplicar a linearidade e a regra do poder ( \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}):
  • Antiderivada de 3x é 3\cdot \frac{x^{2}}{2} = \frac{3}{2}x^{2}.
  • Antiderivada de -\frac{15}{4} é -\frac{15}{4}x.
Portanto uma primitiva em x é
\frac{3}{2}x^{2} - \frac{15}{4}x.
Avaliar entre x=1 e (x=2$:
  • Em x=2:
\frac{3}{2}\cdot 2^{2} - \frac{15}{4}\cdot 2 = \frac{3}{2}\cdot 4 - \frac{30}{4} = 6 - \frac{30}{4} = 6 - \frac{15}{2} = \frac{12-15}{2} = -\frac{3}{2}.
  • Em x=1:
\frac{3}{2}\cdot 1^{2} - \frac{15}{4}\cdot 1 = \frac{3}{2} - \frac{15}{4} = \frac{6-15}{4} = -\frac{9}{4}.
Subtrair (valor em 2 menos valor em 1):
-\frac{3}{2} - \left(-\frac{9}{4}\right) = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{3}{4}.)

Passo 5

Interpretação e checagem rápida:
  • O cálculo foi feito passo a passo usando Fubini, linearidade e a regra do poder para integrais de polinômios.
  • Os sinais e as subtrações foram tratados com frações comuns para evitar erros de arredondamento.
  • O resultado final obtido é \dfrac{3}{4}.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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