Ao inverter a região de integração da integral iterada
, obtém-se:
Nenhuma das anteriores ◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá a soma de duas integrais iteradas
e pede a expressão equivalente ao inverter a ordem de integração (ou seja, escrever uma integral com
por fora e
por dentro). Informações relevantes que o enunciado dá:
- Primeira parcela:
varia em e para cada temos . - Segunda parcela:
varia em e para cada temos .
A tarefa é descrever a mesma região do planocom como variável externa e obter os limites em em função de .
Passo 2
Vamos representar geometricamente a região integrada (chamo de
) como união de duas sub-regiões dadas pelas parcelas. Defino:
-
. -
.
Então a região total é. Para inverter a ordem de integração vou caracterizar como conjunto de pontos com variando em algum intervalo fixo e, para cada , variando entre duas curvas (ou constantes) que dependem de .
Passo 3
Análise de
. A condição
pode ser reescrita tomando logaritmo natural (note que
e
):
E de também temos
. Portanto os pontos de
satisfazem
e
,
que, vistos fixando um , equivalem a exigir
.
Para que esse intervalo faça sentido, deve ser
, o que acontece para
. Assim, em termos de
,
contribui com pontos para
em
com
entre
e
.
E de
que, vistos fixando um
Para que esse intervalo faça sentido,
Passo 4
Análise de
. As condições de
são
e
. Fixando
, isso significa que
varia entre
(menor valor de
) e
(pois
), ou seja
.
Novamente, para que exista tal intervalo é necessário que satisfaça
(pois
pela condição de
). Então
também contribui apenas para
, com
.
Novamente, para que exista tal intervalo é necessário que
Passo 5
União das contribuições para um
fixo em
. Para
temos:
- de
: ; - de
: .
A união desses intervalos é
,
porquepara todo . Portanto, para cada o valor de percorre .
Passo 6
Conclusão: a região
escrita com
como variável externa é
.
Logo a integral invertida (integrando primeiro em e depois em
) fica
.
Isso coincide com a segunda alternativa proposta.
Logo a integral invertida (integrando primeiro em
Isso coincide com a segunda alternativa proposta.