Ao inverter a região de integração da integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y+\int_{1}^{e}\left[\int_{y}^{e} f(x, y) d x\right] d y, obtém-se:
Nenhuma das anteriores ◯
\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln (x)}^{x} f(x, y) d y\right] d x
\int_{1}^{e}\left[\int_{x}^{\ln (x)} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado dá a soma de duas integrais iteradas
\int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{y}} f(x, y)\, d x\right] d y+\int_{1}^{e}\left[\int_{y}^{e} f(x, y)\, d x\right] d y e pede a expressão equivalente ao inverter a ordem de integração (ou seja, escrever uma integral com d x por fora e d y por dentro). Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Primeira parcela: y varia em 0\le y\le1 e para cada y temos 1\le x\le e^{y}.
  • Segunda parcela: y varia em 1\le y\le e e para cada y temos y\le x\le e.
    A tarefa é descrever a mesma região do plano (x,y) com x como variável externa e obter os limites em y em função de x.

Passo 2

Vamos representar geometricamente a região integrada (chamo de D) como união de duas sub-regiões dadas pelas parcelas. Defino:
  • D_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;1\le x\le e^{y}\}.
  • D_2=\{(x,y)\mid 1\le y\le e,\;y\le x\le e\}.
    Então a região total é D=D_1\cup D_2. Para inverter a ordem de integração vou caracterizar D como conjunto de pontos com x variando em algum intervalo fixo e, para cada x, y variando entre duas curvas (ou constantes) que dependem de x.

Passo 3

Análise de D_1. A condição 1\le x\le e^{y} pode ser reescrita tomando logaritmo natural (note que x\ge1>0 e e^{y}>0):
\;x\le e^{y}\iff \ln(x)\le y.
E de D_1 também temos 0\le y\le1. Portanto os pontos de D_1 satisfazem
\;1\le x\le e^{y} e \;0\le y\le1,
que, vistos fixando um x, equivalem a exigir
\;\ln(x)\le y\le1.
Para que esse intervalo faça sentido, \ln(x) deve ser \le1, o que acontece para 1\le x\le e. Assim, em termos de x, D_1 contribui com pontos para x em [1,e] com y entre \ln(x) e 1.

Passo 4

Análise de D_2. As condições de D_2 são 1\le y\le e e y\le x\le e. Fixando x, isso significa que y varia entre 1 (menor valor de y) e x (pois y\le x), ou seja
\;1\le y\le x.
Novamente, para que exista tal intervalo é necessário que x satisfaça 1\le x\le e (pois x\le e pela condição de D_2). Então D_2 também contribui apenas para x\in[1,e], com y\in[1,x].

Passo 5

União das contribuições para um x fixo em [1,e]. Para x\in[1,e] temos:
  • de D_1: y\in[\ln(x),1];
  • de D_2: y\in[1,x].
    A união desses intervalos é
    \;[\ln(x),1]\cup[1,x]=[\ln(x),x],
    porque \ln(x)\le1\le x para todo x\in[1,e]. Portanto, para cada x\in[1,e] o valor de y percorre \ln(x)\le y\le x.

Passo 6

Conclusão: a região D escrita com x como variável externa é
\{(x,y)\mid 1\le x\le e,\;\ln(x)\le y\le x\}.
Logo a integral invertida (integrando primeiro em y e depois em x) fica
\displaystyle \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln(x)}^{x} f(x,y)\, d y\right] d x.
Isso coincide com a segunda alternativa proposta.

Resposta

\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln (x)}^{x} f(x, y) d y\right] d x

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