Calcule o volume do sólido S=\left\{(x, y, z): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\right. e \left.0 \leq z \leq 2 e^{x+y}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S definido por:
  • \,0 \leq x \leq 1,
  • \,0 \leq y \leq 1,
  • \,0 \leq z \leq 2 e^{x+y}.
Ou seja: é a região sobre o quadrado [0,1]\times[0,1] no plano xy cuja altura em cada ponto (x,y) é 2 e^{x+y}. A pergunta é: qual é o volume de S?

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): o volume de um sólido que está entre o plano z=0 e a superfície z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy é a integral dupla da função altura f(x,y) sobre D:
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=2 e^{x+y} e D=\{(x,y):0\le x\le1,\;0\le y\le1\}. Então podemos calcular V como uma integral dupla sobre o quadrado unitário. Vou fazer isso com integração iterada (integrar em z primeiro, reduz para integral dupla, depois integrar em x e y).

Passo 3

Escrevendo o volume como integral tripla (integrando z primeiro):
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{2 e^{x+y}} dz\,dy\,dx.
A integral interna em z é simples porque é só integrar 1 entre 0 e 2 e^{x+y}:
\int_{0}^{2 e^{x+y}} dz = 2 e^{x+y}.
Logo a integral tripla reduz para uma integral dupla:
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 2 e^{x+y}\,dy\,dx.

Passo 4

Tiro a constante 2 para fora:
V=2\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy\,dx.
Agora uso a propriedade do exponencial \,e^{x+y}=e^{x}e^{y}. Isso torna a integral separável (produto de integrais unidimensionais) sobre o retângulo [0,1]\times[0,1]:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x}e^{y}\,dy\,dx = \left(\int_{0}^{1} e^{x}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} e^{y}\,dy\right).

Passo 5

Agora calculo as integrais simples de e^{t}. Lembrete breve: a primitiva de e^{t} é e^{t} porque \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}. Portanto,
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = e^{x}\Big|_{0}^{1} = e-1,
e da mesma forma
\int_{0}^{1} e^{y}\,dy = e^{y}\Big|_{0}^{1} = e-1.
Multiplicando:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy\,dx = (e-1)(e-1)=(e-1)^{2}.

Passo 6

Voltando para V com a constante 2:
V = 2\cdot (e-1)^{2}.
Esse é o valor exato do volume. (Se quiser aproximar numericamente, e\approx 2{,}71828, então V\approx 2\cdot(1{,}71828)^{2}\approx 5{,}90, mas a forma exata é preferível.)

Resposta

2(e-1)^2

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