Calcule a área da região descrita por \pi / 2 \leq x \leq \pi e \cos (x)-1 \leq y \leq \operatorname{sen}(x).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado dá o intervalo para x: \frac{\pi}{2} \le x \le \pi.
  • O enunciado dá os limites em y para cada x: \cos(x)-1 \le y \le \sin(x).
  • O que é pedido: calcular a área da região no plano xy delimitada por essas desigualdades.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (fórmula e significado das funções).
  • Quando uma região é descrita verticalmente por duas curvas y = g(x) (curva inferior) e y = f(x) (curva superior) num intervalo a\le x\le b, a área dessa região é dada por \text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.ÁAqui:
    • a e b são os extremos do intervalo em x;
    • f(x) é a função que está acima (maior valor de y) para cada x em [a,b];
    • g(x) é a função que está abaixo (menor valor de y) para cada x em [a,b].
  • No nosso caso a=\dfrac{\pi}{2}, b=\pi, e as duas curvas são y=\sin(x) e y=\cos(x)-1. Precisamos primeiro identificar qual é a superior ( f) e qual é a inferior ( g) no intervalo dado.

Passo 3

Determinar qual função é maior em \left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right].
  • Para x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right], temos:
    • \sin(x) varia de \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1 até \sin(\pi)=0. Logo \sin(x)\in[0,1].
    • \cos(x) varia de \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 até \cos(\pi)=-1. Portanto \cos(x)-1 varia de 0-1=-1 até -1-1=-2. Logo \cos(x)-1\in[-2,-1].
  • Comparando os intervalos: \sin(x)\ge 0 e \cos(x)-1\le -1. Assim, para todo x em \left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right] vale \sin(x) > \cos(x)-1.
  • Conclusão: f(x)=\sin(x) é a curva superior e g(x)=\cos(x)-1 é a curva inferior. Portanto a área é \text{Área}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\bigl(\sin(x)-(\cos(x)-1)\bigr)\,dxÁe simplificando a integranda: \sin(x)-(\cos(x)-1)=\sin(x)-\cos(x)+1.

Passo 4

Calcular a integral passo a passo.
  • Aplicando a fórmula: \text{Área}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\bigl(\sin(x)-\cos(x)+1\bigr)\,dx.Á
  • Vamos integrar termo a termo. Lembrando as primitivas básicas:
    • A primitiva de \sin(x) é -\cos(x), porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\cos(x)\bigr)=\sin(x).
    • A primitiva de -\cos(x) é -\sin(x), porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\sin(x)\bigr)=-\cos(x).
    • A primitiva de 1 é x.
  • Assim uma primitiva da integranda é F(x)=-\cos(x)-\sin(x)+x.
  • Avaliando nos limites \dfrac{\pi}{2} e \pi: F(\pi)=-\cos(\pi)-\sin(\pi)+\pi = -(-1)-0+\pi = 1+\pi,
F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+\tfrac{\pi}{2} = -0-1+\tfrac{\pi}{2} = -1+\tfrac{\pi}{2}.
  • Portanto a área é \text{Área}=F(\pi)-F\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \bigl(1+\pi\bigr)-\bigl(-1+\tfrac{\pi}{2}\bigr).Á

Passo 5

Simplificar o resultado final da integral.
  • Calcule a diferença: \bigl(1+\pi\bigr)-\bigl(-1+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1+\pi+1-\tfrac{\pi}{2}=2+\pi-\tfrac{\pi}{2}=2+\tfrac{\pi}{2}.
  • Conclusão: a área da região é 2+\dfrac{\pi}{2}.

Resposta

\,2+\dfrac{\pi}{2}

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