Calcule a área da região descrita por
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O enunciado dá o intervalo para
: - O enunciado dá os limites em
para cada : - O que é pedido: calcular a área da região no plano
delimitada por essas desigualdades.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (fórmula e significado das funções).
- Quando uma região é descrita verticalmente por duas curvas
(curva inferior) e (curva superior) num intervalo , a área dessa região é dada por Aqui: -
e são os extremos do intervalo em ; -
é a função que está acima (maior valor de ) para cada em ; -
é a função que está abaixo (menor valor de ) para cada em .
-
- No nosso caso
, , e as duas curvas são e . Precisamos primeiro identificar qual é a superior ( ) e qual é a inferior ( ) no intervalo dado.
Passo 3
Determinar qual função é maior em
.
- Para
, temos: -
varia de até . Logo . -
varia de até . Portanto varia de até . Logo .
-
- Comparando os intervalos:
e . Assim, para todo em vale - Conclusão:
é a curva superior e é a curva inferior. Portanto a área é e simplificando a integranda:
Passo 4
Calcular a integral passo a passo.
- Aplicando a fórmula:
- Vamos integrar termo a termo. Lembrando as primitivas básicas:
- A primitiva de
é , porque . - A primitiva de
é , porque . - A primitiva de
é .
- A primitiva de
- Assim uma primitiva da integranda é
- Avaliando nos limites
e :
- Portanto a área é
Passo 5
Simplificar o resultado final da integral.
- Calcule a diferença:
- Conclusão: a área da região é
.