Calcule a área da região finita entre as curvas no intervalo dado. Faça um esboço dos gráficos, sombreie a região e determine as fronteiras inferior e superior da região.
y=1 / 4 x^2 e y=raizx+2, intervalo [-1,1].

Passo 1

O exercício pede a área da região limitada pelas curvas y=tfrac14x^2 e y=raizx+2 para x de -1 a 1. O conteúdo é cálculo de área entre curvas via integração, e vamos precisar identificar qual função é a fronteira superior e qual é a inferior antes de montar a integral.

Passo 2

Primeiro, determinamos quais curvas são fronteira superior e inferior em [-1,1]. Como não há solução real de tfrac14x^2=raizx+2 nesse intervalo, basta comparar valores em qualquer ponto, por exemplo em x=0: tfrac14cdot0^2=0 e raiz0+2=raiz2>0. Logo, para todo xin[-1,1],
superior: y=raizx+2,inferior: y=tfrac14x^2

Passo 3

Montamos a integral da área como
A=integral-1^1l(raizx+2-tfrac14x^2r),dx

Passo 4

Agora calculamos cada parte. Para I1=integralraizx+2,dx usamos a substituição u=x+2, obtendo
$$I_1=\frac23(x+2)^{3/2}.
$$

Passo 5

Para I2=integraltfrac14x^2,dx temos
$$I_2=\frac14\cdot\frac{x3}{3}=\frac{x3}{12}.
$$

Passo 6

Aplicando os limites na integral completa:
$$A=\biggl[\frac23(x+2){3/2}\biggr]_{-1}{1}-\biggl[\frac{x3}{12}\biggr]_{-1}{1}.
$$

Passo 7

Avalia-se:
23l(3^3/2-1^3/2r)=23(3raiz3-1), 1^3-(-1)^312=212=16

Passo 8

Subtraindo, obtemos
$$A=\frac23(3\sqrt3-1)-\frac16=\frac{12\sqrt3-5}{6}.
$$

Resposta

A=12raiz3-56

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