Calcule a área da região finita entre as curvas no intervalo dado. Faça um esboço dos gráficos, sombreie a região e determine as fronteiras inferior e superior da região.
e
, intervalo
.
Passo 1
O exercício pede a área da região limitada pelas curvas
e
para
de
a
. O conteúdo é cálculo de área entre curvas via integração, e vamos precisar identificar qual função é a fronteira superior e qual é a inferior antes de montar a integral.
Passo 2
Primeiro, determinamos quais curvas são fronteira superior e inferior em
. Como não há solução real de
nesse intervalo, basta comparar valores em qualquer ponto, por exemplo em
:
e
. Logo, para todo
,
Passo 3
Montamos a integral da área como
Passo 4
Agora calculamos cada parte. Para
usamos a substituição
, obtendo
$$I_1=\frac23(x+2)^{3/2}.
$$
Passo 5
Para
temos
$$I_2=\frac14\cdot\frac{x3}{3}=\frac{x3}{12}.
$$
Passo 6
Aplicando os limites na integral completa:
$$A=\biggl[\frac23(x+2){3/2}\biggr]_{-1}{1}-\biggl[\frac{x3}{12}\biggr]_{-1}{1}.
$$
Passo 7
Avalia-se:
Passo 8
Subtraindo, obtemos
$$A=\frac23(3\sqrt3-1)-\frac16=\frac{12\sqrt3-5}{6}.
$$