Considere a função f(x)=lx^2,-pi <= x <= pi f(x+2 pi)
Verifique que f(x+8 pi)=f(x) e esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata de funções periódicas na matemática. Precisamos verificar se a função $ f(x) $ definida por:
f(x) á
satisfaz a relação $ f(x + 8\pi) = f(x) $ e também precisamos esboçar o gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos entender passo a passo o que significa uma função periódica e como verificar a periodicidade dela, além de como desenhar o gráfico com base nessa periodicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que $ f(x) $ é definida de forma periódica. A definição dada:
f(x)
indica que a função se repete a cada intervalo de $ 2\pi $. Isso é uma característica típica das funções periódicas, onde existe um período $ T $ tal que:
f(x) = f(x + 2pi)
No nosso caso, o período é $ 2\pi $.

Passo 3

Agora, queremos verificar se $ f(x + 8\pi) = f(x) $. Sabendo que o período da função é $ 2\pi $, podemos ver como múltiplos desse período afetam a função.
Como $ 8\pi $ é igual a $ 4 \times 2\pi $, ou seja, quatro vezes o período, então:
f(x + 8pi) = f(x)
Isso confirma que adicionar $ 8\pi $ a $ x $ não altera o valor da função, mantendo-a igual a $ f(x) $.

Passo 4

Agora, vamos esboçar o gráfico de $ f(x) $. Sabemos que a função original $ x^{2} $ está definida no intervalo $ -\pi \leq x \leq \pi $. Como $ f(x) $ é periódica com período $ 2\pi $, o gráfico de $ x^{2} $ se repete a cada $ 2\pi $.
Portanto, o gráfico de $ f(x) $ será uma sequência de parábolas iguais a $ x^{2} $ repetidas a cada $ 2\pi $ unidades ao longo do eixo $ x $. Para esboçar:
  1. Desenhe a parábola $ x^{2} $ entre $ -\pi $ e $ \pi $.
  2. Repita esse desenho deslocando a parábola para a direita e para a esquerda a cada intervalo de $ 2\pi $.

Resposta

Concluímos que $ f(x + 8\pi) = f(x) $ e o gráfico de $ f(x) $ consiste em parábolas $ x^{2} $ repetidas a cada $ 2\pi $ unidades no eixo $ x $.

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