Considere a função
Verifique que
e esboce o gráfico de
.
Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou trata de funções periódicas na matemática. Precisamos verificar se a função $ f(x) $ definida por:
satisfaz a relação $ f(x + 8\pi) = f(x) $ e também precisamos esboçar o gráfico dessa função. Para resolver isso, vamos entender passo a passo o que significa uma função periódica e como verificar a periodicidade dela, além de como desenhar o gráfico com base nessa periodicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que $ f(x) $ é definida de forma periódica. A definição dada:
indica que a função se repete a cada intervalo de $ 2\pi $. Isso é uma característica típica das funções periódicas, onde existe um período $ T $ tal que:
No nosso caso, o período é $ 2\pi $.
Passo 3
Agora, queremos verificar se $ f(x + 8\pi) = f(x) $. Sabendo que o período da função é $ 2\pi $, podemos ver como múltiplos desse período afetam a função.
Como $ 8\pi $ é igual a $ 4 \times 2\pi $, ou seja, quatro vezes o período, então:
Isso confirma que adicionar $ 8\pi $ a $ x $ não altera o valor da função, mantendo-a igual a $ f(x) $.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico de $ f(x) $. Sabemos que a função original $ x^{2} $ está definida no intervalo $ -\pi \leq x \leq \pi $. Como $ f(x) $ é periódica com período $ 2\pi $, o gráfico de $ x^{2} $ se repete a cada $ 2\pi $.
Portanto, o gráfico de $ f(x) $ será uma sequência de parábolas iguais a $ x^{2} $ repetidas a cada $ 2\pi $ unidades ao longo do eixo $ x $. Para esboçar:
- Desenhe a parábola $ x^{2} $ entre $ -\pi $ e $ \pi $.
- Repita esse desenho deslocando a parábola para a direita e para a esquerda a cada intervalo de $ 2\pi $.
Resposta
Concluímos que $ f(x + 8\pi) = f(x) $ e o gráfico de $ f(x) $ consiste em parábolas $ x^{2} $ repetidas a cada $ 2\pi $ unidades no eixo $ x $.