Usando o método de variáveis separáveis, resolver o seguinte problema de Dirichlet no semicírculo
l partial^2 upartial r^2+1r partial upartial r+1r^2 partial^2 upartial theta^2=0,0

Passo 1

A questão pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas polares no semicírculo de raio a, com condição de Neumann na fronteira curva r=a, condição de Dirichlet homogênea nas retas θ=0 e θ=π e exigência de regularidade em r→0. O conteúdo é separação de variáveis para problemas de contorno em Laplace, e vamos precisar também expandir a função g(θ) em série de senos.

Passo 2

Assumimos a forma separável u(r,θ)=R®Θ(θ). Substituindo em urr+tfrac1r ur+tfrac1r^2uθθ=0 e dividindo por RΘ obtemos
r^2R''+rR'R+Θ''Θ=0
que nos leva a escolher cada parcela igual a uma constante -λ. A parte angular fica
Θ''+λΘ=0, Θ(0)=0,;Θ(π)=0,
cuja solução não-trivial ocorre para λn=n^2 e Θn(θ)=sin(nθ), n=1,2,dots.

Passo 3

A parte radial é a equação de Euler
r^2R''+rR'-n^2R=0,
com solução geral R(r)=An r^n+Bn r^-n. Como u deve ser limitada em r→0, temos Bn=0 e Rn(r)=An r^n.

Passo 4

Pela superposição,
u(r,θ)=sumn=1^infty An r^nsin(nθ)

Passo 5

Impondo a condição de Neumann na borda r=a:
ur(a,θ)=sumn=1^infty An n a^n-1sin(nθ)=g(θ)

Passo 6

Expandimos g(θ) em série de senos
g(θ)=sumn=1^infty gnsin(nθ), gn=2piintegral0^pi g(θ)sin(nθ),dθ

Passo 7

Igualando coeficientes de sin(nθ) obtemos
An n a^n-1=gnLongrightarrow An=gnn,a^n-1

Resposta

u(r,θ)=sumn=1^inftygnn,a^n-1;r^nsin(nθ), gn=2piintegral0^pi g(θ)sin(nθ),dθ

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