Usando o método de variáveis separáveis, resolver o seguinte problema de Dirichlet no semicírculo
Passo 1
A questão pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas polares no semicírculo de raio a, com condição de Neumann na fronteira curva r=a, condição de Dirichlet homogênea nas retas θ=0 e θ=π e exigência de regularidade em r→0. O conteúdo é separação de variáveis para problemas de contorno em Laplace, e vamos precisar também expandir a função g(θ) em série de senos.
Passo 2
Assumimos a forma separável u(r,θ)=R®Θ(θ). Substituindo em urr+tfrac1r ur+tfrac1r^2uθθ=0 e dividindo por RΘ obtemos
r^2R''+rR'R+Θ''Θ=0
que nos leva a escolher cada parcela igual a uma constante -λ. A parte angular fica Θ''+λΘ=0, Θ(0)=0,;Θ(π)=0,
cuja solução não-trivial ocorre para λn=n^2 e Θn(θ)=sin(nθ), n=1,2,dots.
Passo 3
A parte radial é a equação de Euler
r^2R''+rR'-n^2R=0,
com solução geral R(r)=An r^n+Bn r^-n. Como u deve ser limitada em r→0, temos Bn=0 e Rn(r)=An r^n.