Calcule a área da região finita entre as curvas no intervalo dado. Faça um esboço dos gráficos, sombreie a região e determine as fronteiras inferior e superior da região.
e
, intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = e^{x/3} e y = 3e^{−x} no intervalo [0,3]. O conteúdo é cálculo de área entre duas curvas, usando integrais definidas da diferença entre a função superior e inferior. Vamos precisar achar o ponto de interseção das curvas, determinar quem está por cima em cada trecho e montar as integrais.
Passo 2
Primeiro achamos o ponto de interseção resolvendo
Aplicando ln em ambos os lados:
Passo 3
Para entender qual curva é superior, avaliamos em x = 0 (3e^{-0}=3 > e^{0}=1) e em x = 3 (e^{1}=e > 3e^{-3}). Assim:
– Em 0 ≤ x ≤ x_i: y_sup = 3e^{−x}, y_inf = e^{x/3}.
– Em x_i ≤ x ≤ 3: y_sup = e^{x/3}, y_inf = 3e^{−x}.
Um esboço mostra as curvas exponenciais cruzando em x_i ≈ 0,822; antes desse ponto a curva 3e^{−x} está por cima, depois a e^{x/3}.
– Em 0 ≤ x ≤ x_i: y_sup = 3e^{−x}, y_inf = e^{x/3}.
– Em x_i ≤ x ≤ 3: y_sup = e^{x/3}, y_inf = 3e^{−x}.
Um esboço mostra as curvas exponenciais cruzando em x_i ≈ 0,822; antes desse ponto a curva 3e^{−x} está por cima, depois a e^{x/3}.
Passo 4
A área é dada por
$$ A = \int_{0}{x_i}\bigl(3e{-x}-e^{x/3}\bigr),dx ;+
\int_{x_i}{3}\bigl(e{x/3}-3e^{-x}\bigr),dx. $$
Passo 5
Para calcular cada integral usamos
Avaliando e simplificando chega-se a