Calcule o valor da soma da seguinte série (se possível)
Depois de ter ou não encontrado o valor, o que podemos concluir sobre essa série? Ela converge ou não?
Escolha uma opção:
a.
e a série converge
b.
e a série diverge
c.
e a série converge
d.
e a série diverge
e.
e a série converge
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
e dizer se ela converge ou diverge. O conteúdo principal é série geométrica infinita, e vamos precisar usar a fórmula de soma de uma progressão geométrica (PG) quando a razão
satisfaz
.
Passo 2
Começamos extraindo o fator constante 2:
Em seguida, fazemos a mudança de índice
, que transforma o somatório em
Passo 3
Para usar a fórmula da soma da PG infinita, lembramos que
desde que
. Aqui,
, então
Passo 4
Queremos
. Subtraímos os dois primeiros termos (para
e
) da soma completa:
Então, multiplicando por 2, obtemos
Passo 5
Como a razão
satisfaz
, a série geométrica infinita converge. Portanto, a soma é
e a série converge.
Resposta
1/21 e a série converge