Calcule o valor da soma da seguinte série (se possível)
sumn=1^+infty 27^n+1
Depois de ter ou não encontrado o valor, o que podemos concluir sobre essa série? Ela converge ou não?
Escolha uma opção:
a. 121 e a série converge
b. 17 e a série diverge
c. 114 e a série converge
d. 121 e a série diverge
e. 17 e a série converge

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumn=1^+infty 27^n+1 e dizer se ela converge ou diverge. O conteúdo principal é série geométrica infinita, e vamos precisar usar a fórmula de soma de uma progressão geométrica (PG) quando a razão r satisfaz |r|<1.

Passo 2

Começamos extraindo o fator constante 2: sumn=1^infty 27^n+1 = 2sumn=1^infty 17^n+1 Em seguida, fazemos a mudança de índice k=n+1, que transforma o somatório em 2sumk=2^infty l(17r)^k

Passo 3

Para usar a fórmula da soma da PG infinita, lembramos que sumk=0^infty r^k = 11-r, desde que |r|<1. Aqui, r=1/7, então sumk=0^infty l(17r)^k = 11-tfrac17 = 76

Passo 4

Queremos sumk=2^infty (1/7)^k. Subtraímos os dois primeiros termos (para k=0 e k=1) da soma completa: sumk=2^infty l(17r)^k = 76 - l(1 + 17r) = 76 - 87 = 142 Então, multiplicando por 2, obtemos 2 cdot 142 = 121

Passo 5

Como a razão r=1/7 satisfaz |r|<1, a série geométrica infinita converge. Portanto, a soma é 1/21 e a série converge.

Resposta

1/21 e a série converge

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