Verifique se as seguintes funções são contínuas. g)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade da função g) y = f(x)=
. O conteúdo envolvido é continuidade de funções obtidas por composição (tan(x), exponencial e operações algébricas). Vamos precisar do domínio de tan(x) e do fato de que composições de funções contínuas são contínuas.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio de f. A função
não está definida quando
,
. Logo, a função f só faz sentido para
Passo 3
Em seguida vemos que cada parte é contínua em seu domínio:
é contínua em D, a função exponencial
é contínua em
, e as operações de soma, subtração e divisão (quando o denominador não zera) preservam continuidade. Portanto, f é composição de funções contínuas.
Passo 4
Precisamos checar que o denominador nunca anula. Como
para todo x em D, temos
então não há ponto em que o denominador se torne zero.
Passo 5
Concluímos, pelo teorema da continuidade de composições e operações algébricas, que f é contínua em todo ponto do seu domínio D.
Resposta
A função f(x) é contínua para todo x ∈ ℝ, exceto nos pontos x = π/2 + kπ (k ∈ ℤ), onde tan(x) não está definida.