Verifique se as seguintes funções são contínuas. g) y=f(x)=e^tg(x)-1e^tg(x)+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função g) y = f(x)= e^tg(x)-1e^tg(x)+1. O conteúdo envolvido é continuidade de funções obtidas por composição (tan(x), exponencial e operações algébricas). Vamos precisar do domínio de tan(x) e do fato de que composições de funções contínuas são contínuas.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de f. A função tan(x) não está definida quando x=pi2+kpi, kinZ. Logo, a função f só faz sentido para
D=Rsetminusltfracpi2+kpimid kinZr

Passo 3

Em seguida vemos que cada parte é contínua em seu domínio: tan(x) é contínua em D, a função exponencial e^u é contínua em R, e as operações de soma, subtração e divisão (quando o denominador não zera) preservam continuidade. Portanto, f é composição de funções contínuas.

Passo 4

Precisamos checar que o denominador nunca anula. Como e^tan(x)>0 para todo x em D, temos
e^tan(x)+1>1>0,
então não há ponto em que o denominador se torne zero.

Passo 5

Concluímos, pelo teorema da continuidade de composições e operações algébricas, que f é contínua em todo ponto do seu domínio D.

Resposta

A função f(x) é contínua para todo x ∈ ℝ, exceto nos pontos x = π/2 + kπ (k ∈ ℤ), onde tan(x) não está definida.

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