1. Seja F(s)=Lf(t). Prove que:
Lf^prime prime prime(t)=s^3 F(s)-s^2 f(0)-s f^prime(0)-f^prime prime(0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace da terceira derivada de uma função, isto é, Lf'''(t), pode ser expressa em função de F(s)=Lf(t) e dos valores iniciais f(0),f'(0),f''(0). O conteúdo aqui é a propriedade da transformada de Laplace de derivadas e vamos usar integração por partes e o resultado recursivo Lf^(n)=s,Lf^(n-1)-f^(n-1)(0).

Passo 2

Primeiro, calculamos Lf'(t) por integração por partes: definimos u=f'(t) e dv=e^-stdt, logo du=f''(t)dt e v=-tfrac1se^-st. Aplicando

Passo 3

Sob a hipótese de ordem exponencial, o termo em ttoinfty some e fica
Lf'(t)=sF(s)-f(0)

Passo 4

Agora usamos o resultado acima de forma recursiva:
Lf''(t)=s,Lf'(t)-f'(0)=sl(sF(s)-f(0)r)-f'(0)=s^2F(s)-s f(0)-f'(0)

Passo 5

Finalmente, aplicamos de novo para a terceira derivada:
Lf'''(t)=s,Lf''(t)-f''(0)=sl(s^2F(s)-s f(0)-f'(0)r)-f''(0)

Passo 6

Expandindo, obtemos exatamente
Lf'''(t)=s^3F(s)-s^2f(0)-s f'(0)-f''(0)

Resposta

(\mathcal{L}{f’’’(t)}=s3F(s)-s2f(0)-s f’(0)-f’’(0))

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