- Seja
. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada de Laplace da terceira derivada de uma função, isto é,
, pode ser expressa em função de
e dos valores iniciais
. O conteúdo aqui é a propriedade da transformada de Laplace de derivadas e vamos usar integração por partes e o resultado recursivo
.
Passo 2
Primeiro, calculamos
por integração por partes: definimos
e
, logo
e
. Aplicando
Passo 3
Sob a hipótese de ordem exponencial, o termo em
some e fica
Passo 4
Agora usamos o resultado acima de forma recursiva:
Passo 5
Finalmente, aplicamos de novo para a terceira derivada:
Passo 6
Expandindo, obtemos exatamente
Resposta
(\mathcal{L}{f’’’(t)}=s3F(s)-s2f(0)-s f’(0)-f’’(0))