Calcule a área da região entre o gráfico da função y=x^2 e o eixo x, para x no intervalo [0,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região entre o gráfico da função $ y = x^{2} $ e o eixo $ x $, no intervalo de $ x $ de 0 a 2. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando integrais definidas para encontrar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a área entre uma curva e o eixo $ x $ pode ser encontrada usando uma integral definida. Nesse caso, estamos olhando para a função $ y = x^{2} $ entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

A fórmula geral para a área $ A $ é:
A
Onde $ f(x) $ é a função que define a curva, $ a $ é o limite inferior e $ b $ é o limite superior do intervalo.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema, temos:
A = integral0^2 x^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos calcular essa integral. A antiderivada de $ x^{2} $ é:
x^2
Como estamos fazendo uma integral definida, o $ C $ (constante de integração) não é necessário.

Passo 6

Vamos avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 2:
A = [ x^33 ]0^2 = 2^33 - 0^33 = 83 - 0 = 83

Resposta

A área da região é $ \frac{8}{3} $ unidades de área.

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