Use o teste de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1(3+2 n)^2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty 1(3+2n)^2 usando o teste de comparação. O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e especificamente o teste de comparação direta, além da noção de p-série.

Passo 2

Pelo teste de comparação direta, precisamos achar uma série sum bn mais simples tal que para todo n suficientemente grande valha 0 <= an <= bn, onde an = 1(3+2n)^2. Note que para n>=1 temos 3+2n >= 2n, logo
(3+2n)^2 >= (2n)^2 = 4n^2,
portanto
an = 1(3+2n)^2 <= 14n^2 = bn

Passo 3

Reconhecemos bn = tfrac14n^2 = tfrac14cdottfrac1n^2. A série sumn=1^infty 1n^2 é uma p-série com p=2>1, que converge. Assim sum bn converge por ser múltipla constante de uma p-série convergente.

Passo 4

Como temos 0 <= an <= bn e sum bn converge, pelo teste de comparação direta concluímos que sum an = sumn=1^infty 1(3+2n)^2 também converge.

Resposta

A série converge por comparação direta com a p-série de termo geral 1/n^2.

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