Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepípedo retangular e com v m^3 de volume. O material a ser utilizado nas laterias custa o tríplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.

Passo 1

O enunciado pede uma caixa sem tampa, de paralelepípedo retangular, com volume fixo v, cujo material das laterais custa o triplo do material do fundo. Precisamos minimizAR o custo total do material sob a restrição de volume. Vamos usar otimização com restrição.

Passo 2

Definimos as dimensões da caixa como x, y (base) e z (altura). Se o custo unitário do fundo for c, então o custo unitário das laterais é 3c. A área do fundo é xy e das quatro laterais é 2xz+2yz. O custo total é
C = c,(xy) + 3c,(2xz + 2yz) = cl(xy + 6xz + 6yzr)
Como o fator c é constante, basta minimizar
f(x,y,z) = xy + 6xz + 6yz
sujeito a
g(x,y,z) = xyz - v = 0

Passo 3

Aplicamos o método de Lagrange definindo
L(x,y,z,lambda) = xy + 6xz + 6yz + lambda,(xyz - v)
As condições de ótimo são
partialLpartial x = y + 6z + lambda,yz = 0,
partialLpartial y = x + 6z + lambda,xz = 0,
partialLpartial z = 6x + 6y + lambda,xy = 0

Passo 4

Das duas primeiras igualdades temos
x = y
que simplifica para y + 6zyz = 6x + 6yxy . Igualando a primeira e a terceira:
x = y
substituindo 1z + 6x = 12x
1z = 6x,
logo
z = x6
ou seja

Passo 5

Finalmente usamos a restrição de volume xyz = v:
x cdot x cdot x6 = v
x^36 = v
x^3 = 6v
x = (6v)^1/3
Então
y = (6v)^1/3,
z = x6 = (6v)^1/36 = (v/36)^1/3

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são: base x = y = (6v)^1/3 e altura z = (v/36)^1/3

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