Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um paralelepípedo retangular e com
de volume. O material a ser utilizado nas laterias custa o tríplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material.
Passo 1
O enunciado pede uma caixa sem tampa, de paralelepípedo retangular, com volume fixo
, cujo material das laterais custa o triplo do material do fundo. Precisamos minimizAR o custo total do material sob a restrição de volume. Vamos usar otimização com restrição.
Passo 2
Definimos as dimensões da caixa como
,
(base) e
(altura). Se o custo unitário do fundo for
, então o custo unitário das laterais é
. A área do fundo é
e das quatro laterais é
. O custo total é
Como o fator
é constante, basta minimizar
sujeito a
Passo 3
Aplicamos o método de Lagrange definindo
As condições de ótimo são
Passo 4
Das duas primeiras igualdades temos
que simplifica para . Igualando a primeira e a terceira:
que simplifica para
substituindo
dá
logo
ou seja
Passo 5
Finalmente usamos a restrição de volume
:
Então
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são: base
e altura