Calcule a área da região entre o gráfico da função e o eixo x no intervalo dado. Faça um esboço do gráfico e sombreie a região. Verifique se a função é positiva ou negativa ou ainda se a função troca de sinal no intervalo dado.
f(x)=x raiz4-x^2, intervalo [-2,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região entre o gráfico de f(x)=x√(4−x²) e o eixo x no intervalo [−2,2], verificar onde f é positiva ou negativa e fazer um esboço sombreando a região. Vamos usar conceitos de funções ímpares e de integração de área sob a curva.

Passo 2

Primeiro, analisamos o sinal de f(x). Como f(x)=x√(4−x²), o fator √(4−x²) é sempre não negativo em [−2,2], então o sinal de f depende só de x. Assim f(x)<0 em (−2,0), f(0)=0 e f(x)>0 em (0,2). O gráfico cruza o eixo x em x=−2,0,2. Para o esboço, desenhe uma “campânula” simétrica em torno da origem, negativa à esquerda e positiva à direita, sombreando a área entre a curva e o eixo x.

Passo 3

A área pedida é a integral da função em módulo:
A=integral-2^2|xraiz4-x^2|,dx

Passo 4

Como a função é ímpar e |f(x)| é par, podemos dobrar a integral de 0 a 2:
A=2integral0^2 xraiz4-x^2,dx

Passo 5

Para calcular integral0^2 xraiz4-x^2,dx, fazemos a substituição u=4-x^2, de onde du=-2x,dx e x,dx=-tfrac12du. Assim:
integral0^2 xraiz4-x^2,dx=-tfrac12integralu(0)=4^u(2)=0u^1/2du=-tfrac12cdot23l[u^3/2r]4^0=-tfrac13l[0^3/2-4^3/2r]=tfrac83

Passo 6

Portanto, a área total é
A=2times83=163

Resposta

A área da região entre o gráfico e o eixo x no intervalo [−2,2] é tfrac163.

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