Calcule a área da região entre o gráfico da função e o eixo x no intervalo dado. Faça um esboço do gráfico e sombreie a região. Verifique se a função é positiva ou negativa ou ainda se a função troca de sinal no intervalo dado.
, intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região entre o gráfico de f(x)=x√(4−x²) e o eixo x no intervalo [−2,2], verificar onde f é positiva ou negativa e fazer um esboço sombreando a região. Vamos usar conceitos de funções ímpares e de integração de área sob a curva.
Passo 2
Primeiro, analisamos o sinal de f(x). Como f(x)=x√(4−x²), o fator √(4−x²) é sempre não negativo em [−2,2], então o sinal de f depende só de x. Assim f(x)<0 em (−2,0), f(0)=0 e f(x)>0 em (0,2). O gráfico cruza o eixo x em x=−2,0,2. Para o esboço, desenhe uma “campânula” simétrica em torno da origem, negativa à esquerda e positiva à direita, sombreando a área entre a curva e o eixo x.
Passo 3
A área pedida é a integral da função em módulo:
Passo 4
Como a função é ímpar e |f(x)| é par, podemos dobrar a integral de 0 a 2:
Passo 5
Para calcular
, fazemos a substituição
, de onde
e
. Assim:
Passo 6
Portanto, a área total é
Resposta
A área da região entre o gráfico e o eixo x no intervalo [−2,2] é
.