Calcule a área a região indicada.
Limitada pela curva
, o eixo
e as retas
e
.
Limitada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma região que está limitada pela curva $ y = 4 - x^{2} $, pelo eixo $ x $ (que é a linha $ y = 0 $), e pelas retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 2 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral. A integral de uma função entre dois pontos dá a área sob a curva dessa função entre esses pontos. No nosso caso, queremos a área entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Vamos configurar a integral. Nossa função é $ y = 4 - x^{2} $, e queremos encontrar a área entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. Integramos cada termo separadamente:
Como estamos calculando uma área definida entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $, não precisamos da constante $ C $. Vamos avaliar a integral nesses limites:
Simplificando:
Resposta
A área da região indicada é $ \frac{5}{3} $ unidades de área.