Calcule a área a região indicada.
Limitada pela curva y=4-x^2, o eixo x e as retas x=1 e x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma região que está limitada pela curva $ y = 4 - x^{2} $, pelo eixo $ x $ (que é a linha $ y = 0 $), e pelas retas verticais $ x = 1 $ e $ x = 2 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral. A integral de uma função entre dois pontos dá a área sob a curva dessa função entre esses pontos. No nosso caso, queremos a área entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Vamos configurar a integral. Nossa função é $ y = 4 - x^{2} $, e queremos encontrar a área entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $. Então, a integral fica:
y = 4 - x^2 Á

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Integramos cada termo separadamente:
integral (4 - x^2) , dx = integral 4 , dx - integral x^2 , dx = 4x - x^33 + C
Como estamos calculando uma área definida entre $ x = 1 $ e $ x = 2 $, não precisamos da constante $ C $. Vamos avaliar a integral nesses limites:
x = 1 Á
Simplificando:
x = 2
C

Resposta

A área da região indicada é $ \frac{5}{3} $ unidades de área.

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