Calcule a área a região indicada.
Limitada pela curva y=x^2-2 x+3, o eixo x e as retas x=-2 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y = x^2 - 2x + 3, o eixo x e as retas x = -2 e x = 1. O conteúdo é cálculo de área por integração definida e vamos precisar montar e calcular uma integral de 1ª ou 2ª ordem.

Passo 2

Precisamos verificar se a curva fica acima do eixo x em todo o intervalo, pois isso garante que a área é simplesmente a integral da função. Como o discriminante de x^2 - 2x + 3 é Δ = (-2)^2 - 4·1·3 = 4 - 12 = -8 < 0, a parábola não cruza o eixo x. Além disso, valores pontuais como y(-2) = 11 e y(1) = 2 confirmam y > 0.

Passo 3

Montamos a integral que dá a área A da região:
A = integral-2^1 l(x^2 - 2x + 3r),dx

Passo 4

Calculamos a antiderivada F(x) de f(x) = x^2 - 2x + 3 e avaliamos nos limites:
F(x) = x^33 - x^2 + 3x

Passo 5

Substituindo nos limites, temos:
A = F(1) - F(-2) = l(tfrac1^33 - 1^2 + 3cdot1r) - l(tfrac(-2)^33 - (-2)^2 + 3cdot(-2)r) = 73 - l(-tfrac383r) = 453 = 15

Resposta

15

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