Encontre os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
O enunciado pede pra achar os pontos críticos de
no quadrado aberto
, classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais, sistema
e matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeiro e segundo ordem.
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
Da igualdade dos dois temos
cuja solução é
(isto é,
) ou
(isto é,
). Assim os críticos são
.
Passo 4
Montamos a Hessiana em cada ponto e calculamos determinante
Para :
,
Para
Para
Para
Passo 5
Como em
temos
e
, é um máximo local.
Em temos
e
, é um mínimo local.
Em a Hessiana é degenerada, mas análise de termos de ordem superior mostra comportamento de sela.
Em
Em
Passo 6
Passo 7
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Mínimo local em com valor
.
Ponto de sela em .
Mínimo local em
Ponto de sela em