Encontre os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função

Passo 1

O enunciado pede pra achar os pontos críticos de
f(x,y)=sin x+sin y+sin(x+y) no quadrado aberto 0, classificá-los em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar derivadas parciais, sistema fx=fy=0 e matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeiro e segundo ordem.
partial fpartial x = cos x + cos(x+y)
partial fpartial y = cos y + cos(x+y)
fxx = -sin x - sin(x+y), fyy = -sin y - sin(x+y), fxy = -sin(x+y) .

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
cos x + cos(x+y) = 0, cos y + cos(x+y)=0
Da igualdade dos dois temos cos x=cos y, logo em (0,2pi) a solução não-trivial é x=y. Substituindo em cos x+cos2x=0
2cos^2 x - 1 + cos x = 0 implies 2cos^2 x + cos x -1=0,
cuja solução é cos x=1/2 (isto é, x=pi/3,5pi/3) ou cos x=-1 (isto é, x=pi). Assim os críticos são
(pi/3,pi/3),;(5pi/3,5pi/3),;(pi,pi).

Passo 4

Montamos a Hessiana em cada ponto e calculamos determinante
Para (pi/3,pi/3): sinpi/3=sin2pi/3=tfracraiz32,
fxx= -tfracraiz32-tfracraiz32=-raiz3,; fyy=-raiz3,; fxy=-tfracraiz32,
det H = (-raiz3)^2 -l(-tfracraiz32r)^2=3-tfrac34=tfrac94>0
Para (5pi/3,5pi/3): sin5pi/3=-tfracraiz32,;sin10pi/3=-tfracraiz32,
fxx=raiz3,; fyy=raiz3,; fxy=tfracraiz32,
det H=3-tfrac34=tfrac94>0
Para (pi,pi): todos os termos de seno valem zero, logo H é a matriz nula (caso degenerado).

Passo 5

Como em (pi/3,pi/3) temos det H>0 e fxx<0, é um máximo local.
Em (5pi/3,5pi/3) temos det H>0 e fxx>0, é um mínimo local.
Em (pi,pi) a Hessiana é degenerada, mas análise de termos de ordem superior mostra comportamento de sela.

Passo 6

Passo 7

Resposta

Máximo local em (pi/3,pi/3) com valor f=3raiz3/2.
Mínimo local em (5pi/3,5pi/3) com valor f=-3raiz3/2.
Ponto de sela em (pi,pi).

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