2 (valor 4,0 pontos) Considere a função f definida por:
ll2 x^3 y^4z^2, se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0).
(a) Verifique se f é contínua em ( 0,0 ). Justifique sua resposta;
(b) Calcule as derivadas parciais primeitas fz e fnu em(0,0);
© A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função f por valores diferentes em (0,0) e fora dele. Precisamos: verificar continuidade em (0,0), calcular as derivadas parciais em (0,0) e determinar se f é diferenciável em (0,0). O conteúdo envolve limites para funções de duas variáveis, derivadas parciais pela definição e critério de diferenciabilidade usando o resto de Taylor.

Passo 2

Para testar continuidade em (0,0), analisamos o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0). Para (x,y)≠(0,0) temos
f(x,y)=2x^3y^4x^2+y^2
e definimos r=√(x²+y²), então |x|≤r e |y|≤r, o que dá
|f(x,y)|=|2x^3y^4x^2+y^2|<=2r^7r^2=2r^5
Como 2r^5→0 quando r→0, o limite é 0, que é f(0,0). Logo, f é contínua em (0,0).

Passo 3

As derivadas parciais em (0,0) se definem por limite de diferença quociente. Para f_x(0,0):
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
pois y=0 faz o numerador nulo. De modo análogo,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=0
Portanto, f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0.

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade, usamos o critério do resto R(x,y)=f(x,y)−f(0,0)−f_x(0,0)x−f_y(0,0)y. Temos R(x,y)=f(x,y), pois f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0. Então
|R(x,y)|raizx^2+y^2=|f(x,y)|r<=2r^5r=2r^4
E 2r^4→0 quando r→0. Esse limite zero mostra que f é diferenciável em (0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0); f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0; f é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados