2 (valor 4,0 pontos) Considere a função
definida por:
.
(a) Verifique se
é contínua em ( 0,0 ). Justifique sua resposta;
(b) Calcule as derivadas parciais primeitas
e
;
© A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
(a) Verifique se
(b) Calcule as derivadas parciais primeitas
© A função
Passo 1
O enunciado define a função f por valores diferentes em (0,0) e fora dele. Precisamos: verificar continuidade em (0,0), calcular as derivadas parciais em (0,0) e determinar se f é diferenciável em (0,0). O conteúdo envolve limites para funções de duas variáveis, derivadas parciais pela definição e critério de diferenciabilidade usando o resto de Taylor.
Passo 2
Para testar continuidade em (0,0), analisamos o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0). Para (x,y)≠(0,0) temos
e definimos r=√(x²+y²), então |x|≤r e |y|≤r, o que dá
Como 2r^5→0 quando r→0, o limite é 0, que é f(0,0). Logo, f é contínua em (0,0).
Passo 3
As derivadas parciais em (0,0) se definem por limite de diferença quociente. Para f_x(0,0):
pois y=0 faz o numerador nulo. De modo análogo,
Portanto, f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0.
Passo 4
Para verificar diferenciabilidade, usamos o critério do resto R(x,y)=f(x,y)−f(0,0)−f_x(0,0)x−f_y(0,0)y. Temos R(x,y)=f(x,y), pois f(0,0)=f_x(0,0)=f_y(0,0)=0. Então
E 2r^4→0 quando r→0. Esse limite zero mostra que f é diferenciável em (0,0).
Resposta
f é contínua em (0,0); f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0; f é diferenciável em (0,0).