Calcule a área a região indicada.
Limitada pela curva y=x raizx^2+9, o eixo x, o eixo y e a reta x=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva y = xraizx^2+9, pelos eixos coordenados e pela reta x=4. O conteúdo principal aqui é o cálculo de área sob uma curva usando integral definida, e vamos precisar também da técnica de substituição.

Passo 2

Para representar a área pedida, montamos a integral definida de y em relação a x de 0 até 4:
A = integral0^4 x raizx^2+9,dx

Passo 3

Observamos que a integral envolve xraizx^2+9, então fazemos a substituição u = x^2+9. Assim, du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,du. Substituindo, fica:
A = 12integral u^1/2,du

Passo 4

Agora calculamos a primitiva de u^1/2:
integral u^1/2,du = 23u^3/2

Passo 5

Levando em conta o fator tfrac12, a antiderivada original é
12cdot23u^3/2 = 13(x^2+9)^3/2

Passo 6

Finalmente, avaliamos essa expressão entre x=0 e x=4:
A = 13l[(4^2+9)^3/2 - (0^2+9)^3/2r] = 13l[25^3/2 - 9^3/2r] = 13(125 - 27) = 983

Resposta

A área da região é 983.

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