Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas polares e calcule as integrais duplas:
& integral duplaR(x^2+y^2) d y d x, R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 9, x <= 0, y >= 0 & integral duplaR 1raizx^2+y^2 d x d y, R=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4 & integral duplaR e^x^2+y^2 d x d y, R=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 4, x >= 0, y <= 0

Passo 1

Nesse exercício a gente vai usar coordenadas polares para resolver três integrais duplas em regiões circulares. O conteúdo principal é a mudança de variáveis em integrais duplas e o uso do jacobiano , r quando passamos de , (x,y) para , (r,theta).

Passo 2

Para a primeira integral integral duplaR(x^2+y^2),dy,dx, a região R é o quarto de disco de raio 3 com x<=0 e y>=0. Em polares:
R: 0<= r<=3, pi2<=theta<=pi O integrando fica x^2+y^2=r^2 e o jacobiano é r. Então:
integral duplaR(x^2+y^2),dA = integraltheta=pi/2^pi!integralr=0^3 r^2cdot r,dr,dtheta = integralpi/2^pi!integral0^3 r^3,dr,dtheta

Passo 3

Calculando a parte em r:
integral0^3r^3,dr = r^44|0^3 = 814 Agora em theta:
integralpi/2^pidtheta = pi2 Multiplicando dá
814cdotpi2 = 81pi8

Passo 4

Para a segunda integral integral duplaR1raizx^2+y^2,dx,dy, a região é o anel entre r=1 e r=2, 0<=theta<=2pi. Em polares o integrando é 1/r e o jacobiano é r, logo o produto 1/rcdot r=1. Então:
integral duplaR1raizx^2+y^2,dA = integral0^2pi!integral1^21,dr,dtheta = integral0^2pi(2-1),dtheta = 2pi

Passo 5

Na terceira integral integral duplaRe^x^2+y^2,dx,dy, R é o quarto de disco de raio 2 em que x>=0,y<=0, isto é -pi/2<=theta<=0, 0<= r<=2. O integrando vira e^r^2 e o jacobiano é r. Assim:
integral duplaRe^x^2+y^2,dA = integraltheta=-pi/2^0!integral0^2e^r^2,r,dr,dtheta Dentro: integral0^2r e^r^2,dr = tfrac12 e^r^2|0^2 = tfrac12(e^4-1). E a parte angular é integral-pi/2^0dtheta = tfracpi2. Multiplicando dá
pi2cdot12(e^4-1) = pi4(e^4-1)

Resposta

integral duplaR1(x^2+y^2),dA = tfrac81pi8, integral duplaR2tfrac1raizx^2+y^2,dA = 2pi, integral duplaR3e^x^2+y^2,dA = tfracpi4(e^4-1).

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