Converta as coordenadas cartesianas para coordenadas polares e calcule as integrais duplas:
Passo 1
Nesse exercício a gente vai usar coordenadas polares para resolver três integrais duplas em regiões circulares. O conteúdo principal é a mudança de variáveis em integrais duplas e o uso do jacobiano , quando passamos de , para ,.
Passo 2
Para a primeira integral , a região é o quarto de disco de raio 3 com e . Em polares:
O integrando fica e o jacobiano é . Então:
Passo 3
Calculando a parte em :
Agora em theta:
integralpi/2^pidtheta = pi2 Multiplicando dá
814cdotpi2 = 81pi8
Passo 4
Para a segunda integral integral duplaR1raizx^2+y^2,dx,dy, a região é o anel entre r=1 e r=2, 0<=theta<=2pi. Em polares o integrando é 1/r e o jacobiano é r, logo o produto 1/rcdot r=1. Então:
integral duplaR1raizx^2+y^2,dA = integral0^2pi!integral1^21,dr,dtheta = integral0^2pi(2-1),dtheta = 2pi
Passo 5
Na terceira integral integral duplaRe^x^2+y^2,dx,dy, R é o quarto de disco de raio 2 em que x>=0,y<=0, isto é -pi/2<=theta<=0, 0<= r<=2. O integrando vira e^r^2 e o jacobiano é r. Assim:
integral duplaRe^x^2+y^2,dA = integraltheta=-pi/2^0!integral0^2e^r^2,r,dr,dtheta Dentro: integral0^2r e^r^2,dr = tfrac12 e^r^2|0^2 = tfrac12(e^4-1). E a parte angular é integral-pi/2^0dtheta = tfracpi2. Multiplicando dá
pi2cdot12(e^4-1) = pi4(e^4-1)
Resposta
integral duplaR1(x^2+y^2),dA = tfrac81pi8, integral duplaR2tfrac1raizx^2+y^2,dA = 2pi, integral duplaR3e^x^2+y^2,dA = tfracpi4(e^4-1).