Calcule a integral dupla onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelos círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9. Onde R pode ser descrita como:
R=(x, y) mid x >= 0, y >= 0,4 <= x^2+y^2 <= 9

Passo 1

Enunciado resumido: Calcular integral duplaR dA na região do primeiro quadrante limitada pelos círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9. O conteúdo aqui é integrais duplas e coordenadas polares; vamos precisar usar a troca x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Descrever a região em coordenadas polares: no primeiro quadrante theta vai de 0 a tfracpi2 e a distância radial r varia de 2 (raio do círculo menor) até 3 (raio do círculo maior).

Passo 3

Montar a integral em polares substituindo dA por r,dr,dtheta, obtendo
integraltheta=0^pi2integralr=2^3r,dr,dtheta

Passo 4

Calcular a integral interna em r:
integral2^3r,dr = r^22|2^3 = 9-42 = 52

Passo 5

Calcular a integral em theta:
integral0^pi252,dtheta = 52cdotpi2 = 5pi4

Resposta

5pi4

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