Calcule as integrais duplas usando a soma de Riemann:
lll integral duplaR(2 x+y^2) d A & em que & R=(x, y) mid 0 <= x <= 3,1 <= y <= 2 integral duplaR(x^2-4 y) d A & em que & R=(x, y) mid-2 <= x <= 1,0 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas integrais duplas para calcular usando a soma de Riemann. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar as integrais sobre as regiões especificadas e então calcular passo a passo. As integrais que vamos resolver são:
integral duplaR(2x + y^2) dA onde R = (x, y) mid 0 <= x <= 3, , 1 <= y <= 2
e
integral duplaR(x^2 - 4y) dA onde R = (x, y) mid -2 <= x <= 1, , 0 <= y <= 2

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular uma integral dupla usando soma de Riemann. basicamente, uma integral dupla calcula o volume sob uma superfície $ z = f(x, y) $ sobre uma região $ R $ no plano $ xy $. A gente vai transformar essa integral dupla em duas integrais simples, uma depois da outra, geralmente integrando primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, ou vice-versa.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral:
integral duplaR(2x + y^2) dA onde R = (x, y) mid 0 <= x <= 3, , 1 <= y <= 2
Aqui, a região $ R $ é um retângulo onde $ x $ varia de 0 a 3 e $ y $ varia de 1 a 2. Vamos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 4

Configurando a integral iterada, temos:
integraly=1^2 integralx=0^3 (2x + y^2) dx , dy
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ x $:
x

Passo 5

Integrando $ 2x + y^{2} $ em relação a $ x $:
2x + y^2
Agora, avaliamos de $ x = 0 $ a $ x = 3 $:
x

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a $ y $:
y
Vamos integrar termo a termo:
integral1^2 (9 + 3y^2) dy
Avaliando de $ y = 1 $ a $ y = 2 $:
integral 9 , dy + integral 3y^2 , dy = 9y + y^3 + C

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral:
integral duplaR(x^2 - 4y) dA onde R = (x, y) mid -2 <= x <= 1, , 0 <= y <= 2
A região $ R $ aqui também é um retângulo, com $ x $ de -2 a 1 e $ y $ de 0 a 2. Vamos novamente integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.

Passo 8

Configurando a integral iterada:
integraly=0^2 integralx=-2^1 (x^2 - 4y) dx , dy
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ x $:
x

Passo 9

Integrando $ x^{2} - 4y $ em relação a $ x $:
x^2 - 4y
Avaliando de $ x = -2 $ a $ x = 1 $:
x
Simplificando:
integral (x^2 - 4y) dx = integral x^2 , dx - integral 4y , dx = x^33 - 4y x + C

Passo 10

Agora, substituímos na integral externa:
integral0^2 (3 - 12y) dy
Integrando termo a termo:
integral 3 , dy - integral 12y , dy = 3y - 6y^2 + C
Avaliando de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
y = 0

Resposta

As integrais calculadas são:
integral duplaR(2x + y^2) dA = 16
e
integral duplaR(x^2 - 4y) dA = -18

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