Calcule as integrais duplas usando a soma de Riemann:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas integrais duplas para calcular usando a soma de Riemann. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar as integrais sobre as regiões especificadas e então calcular passo a passo. As integrais que vamos resolver são:
e
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular uma integral dupla usando soma de Riemann. basicamente, uma integral dupla calcula o volume sob uma superfície $ z = f(x, y) $ sobre uma região $ R $ no plano $ xy $. A gente vai transformar essa integral dupla em duas integrais simples, uma depois da outra, geralmente integrando primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $, ou vice-versa.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
Aqui, a região $ R $ é um retângulo onde $ x $ varia de 0 a 3 e $ y $ varia de 1 a 2. Vamos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Passo 4
Configurando a integral iterada, temos:
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ x $:
Passo 5
Integrando $ 2x + y^{2} $ em relação a $ x $:
Agora, avaliamos de $ x = 0 $ a $ x = 3 $:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa, que é em relação a $ y $:
Vamos integrar termo a termo:
Avaliando de $ y = 1 $ a $ y = 2 $:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda integral:
A região $ R $ aqui também é um retângulo, com $ x $ de -2 a 1 e $ y $ de 0 a 2. Vamos novamente integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $.
Passo 8
Configurando a integral iterada:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ x $:
Passo 9
Integrando $ x^{2} - 4y $ em relação a $ x $:
Avaliando de $ x = -2 $ a $ x = 1 $:
Simplificando:
Passo 10
Agora, substituímos na integral externa:
Integrando termo a termo:
Avaliando de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
Resposta
As integrais calculadas são:
e