find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
Passo 1
Vamos resolver a expansão em séries de meia-intervalo no intervalo [0,π] para a função dada, usando tanto a expansão em cossenos (extensão par) quanto em senos (extensão ímpar). Precisaremos das fórmulas de coeficientes do desenvolvimento de Fourier em [0,π] e dos cálculos de integrais.
Passo 2
Para a expansão em cossenos, usamos a forma
com
Passo 3
Vamos calcular
. Note que
onde
Logo
Passo 4
Para
, partimos de
Chamando
e observando que a segunda integral é
por mudança de variável e fator
, concluímos
Um cálculo por partes mostra
Destaca-se então que
para
ímpar, e para
(par)
Passo 5
Assim, a expansão em cossenos fica
Passo 6
Para a expansão em senos, usamos
com
Passo 7
De modo análogo, definimos
e obtemos por simetria
para a parte de a
. Logo
e obtemos por simetria
para a parte de
Cálculo por partes dá
Novamente
para
ímpar, e para
Passo 8
A expansão em senos fica então
Resposta
Cosine expansion:
Sine expansion: