find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
x, & 0

Passo 1

Vamos resolver a expansão em séries de meia-intervalo no intervalo [0,π] para a função dada, usando tanto a expansão em cossenos (extensão par) quanto em senos (extensão ímpar). Precisaremos das fórmulas de coeficientes do desenvolvimento de Fourier em [0,π] e dos cálculos de integrais.

Passo 2

Para a expansão em cossenos, usamos a forma
f(x)=a02+sumn=1^inftyancos(nx)
com
a0=2piintegral0^pif(x),dx, an=2piintegral0^pif(x)cos(nx),dx

Passo 3

Vamos calcular a0. Note que
integral0^pif(x),dx=integral0^pi/2x,dx+integralpi/2^pi(pi-x),dx
onde
integral0^pi/2x,dx=12l(pi2r)^2=pi^28, integralpi/2^pi(pi-x),dx=pi^28
Logo
integral0^pif(x),dx=pi^24, a0=2picdotpi^24=pi2

Passo 4

Para an, partimos de
an=2pil(integral0^pi/2xcos(nx),dx+integralpi/2^pi(pi-x)cos(nx),dxr)
Chamando
(-1)^n e observando que a segunda integral é
an=2piI1l(1+(-1)^nr) por mudança de variável e fator I1=pi2nsinl(npi2r)+cosl(npi2r)-1n^2 , concluímos
an=0
Um cálculo por partes mostra
n
Destaca-se então que n=2k para a2k=1pi k^2l((-1)^k-1r) ímpar, e para (par)

Passo 5

Assim, a expansão em cossenos fica
f(x)=pi4-2pisumm=0^inftycosl((4m+2)xr)(2m+1)^2

Passo 6

Para a expansão em senos, usamos
f(x)=sumn=1^inftybnsin(nx)
com
bn=2piintegral0^pif(x)sin(nx),dx

Passo 7

De modo análogo, definimos
pi/2
e obtemos por simetria
pi
para a parte de bn=2piJ1l(1+(-1)^nr) a J1=-pi2ncosl(npi2r)+sinl(npi2r)n^2 . Logo
bn=0
Cálculo por partes dá
n
Novamente n=2k para b2k=(-1)^k+1k ímpar, e para

Passo 8

A expansão em senos fica então
f(x)=sumk=1^infty(-1)^k+1ksin(2kx)

Resposta

Cosine expansion:
f(x)=pi4-2pisumm=0^inftycosl((4m+2)xr)(2m+1)^2
Sine expansion:
f(x)=sumk=1^infty(-1)^k+1ksin(2kx)

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