Calcule a área da região:
Interior à
e
Interior à
Passo 1
O enunciado pede a área da região comum aos dois lugares descritos em coordenadas polares: a região interior ao círculo
e a região interior ao cardioide
. Para encontrar essa área, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares
e, como as duas curvas se cruzam, teremos de dividir a integral em intervalos onde cada curva impõe o valor mínimo de
.
Passo 2
Primeiro, determinamos os ângulos de interseção resolvendo
Isso ocorre em
Passo 3
Agora analisamos, para cada
, qual curva dá o menor valor de
.
- Quando
(isto é, ), tem-se
portanto o limite exterior é o cardioide.
- Quando
(isto é, ), o cardioide fica acima de e o limite exterior é o círculo .
Passo 4
Montamos a integral de área separando os intervalos:
Pela simetria, as duas integrais com o cardioide são iguais.
Passo 5
Vamos calcular a parte do cardioide num só intervalo e depois dobrar:
Logo,
Integramos:
Avaliada de
a
, dá
Passo 6
Agora reunimos tudo:
- As duas parcelas do cardioide dão
. - A parcela do círculo é
Somando e incluindo o fator
inicial corretamente, chegamos a
Resposta
A área da região comum é