Calcule a área da região:
Interior à r=3 e r=2(1-\cos \theta)

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum aos dois lugares descritos em coordenadas polares: a região interior ao círculo r=3 e a região interior ao cardioide r=2(1-\cos\theta). Para encontrar essa área, vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares
\text{Área} = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \bigl(r(\theta)\bigr)^2\,d\thetaÁ
e, como as duas curvas se cruzam, teremos de dividir a integral em intervalos onde cada curva impõe o valor mínimo de r.

Passo 2

Primeiro, determinamos os ângulos de interseção resolvendo
2\bigl(1-\cos\theta\bigr) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 1-\cos\theta = \tfrac32 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = -\tfrac12.
Isso ocorre em
\theta = \frac{2\pi}{3} \quad\text{e}\quad \theta = \frac{4\pi}{3}.

Passo 3

Agora analisamos, para cada \theta, qual curva dá o menor valor de r.
  • Quando \cos\theta \ge -\tfrac12 (isto é, \theta\in[0,\tfrac{2\pi}{3}]\cup[\tfrac{4\pi}{3},2\pi]), tem-se
2(1-\cos\theta)\le3,
portanto o limite exterior é o cardioide.
  • Quando \cos\theta\le -\tfrac12 (isto é, \theta\in[\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3}]), o cardioide fica acima de 3 e o limite exterior é o círculo r=3.

Passo 4

Montamos a integral de área separando os intervalos:
\text{Área} = \frac12\Biggl[ \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \bigl[2(1-\cos\theta)\bigr]^2 d\theta \;+\; \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{4\pi}{3}} 3^2\,d\theta \;+\; \int_{\frac{4\pi}{3}}^{2\pi} \bigl[2(1-\cos\theta)\bigr]^2 d\theta \Biggr].Á
Pela simetria, as duas integrais com o cardioide são iguais.

Passo 5

Vamos calcular a parte do cardioide num só intervalo e depois dobrar:
\bigl[2(1-\cos\theta)\bigr]^2 = 4\,(1-\cos\theta)^2 =4\Bigl(1 -2\cos\theta +\cos^2\theta\Bigr) =4\Bigl(\tfrac32 -2\cos\theta +\tfrac12\cos2\theta\Bigr) =6 -8\cos\theta +2\cos2\theta.
Logo,
\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}4(1-\cos\theta)^2\,d\theta =\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}}\bigl(6 -8\cos\theta +2\cos2\theta\bigr)d\theta.
Integramos:
\int 6\,d\theta =6\theta,\quad \int -8\cos\theta\,d\theta = -8\sin\theta,\quad \int 2\cos2\theta\,d\theta = \sin2\theta.
Avaliada de 0 a \tfrac{2\pi}{3}, dá
6\cdot\tfrac{2\pi}{3} \;-\;8\sin\!\tfrac{2\pi}{3}\;+\;\sin\!\tfrac{4\pi}{3} =4\pi \;-\;8\cdot\frac{\sqrt3}{2}\;+\;\Bigl(-\frac{\sqrt3}{2}\Bigr) =4\pi -4\sqrt3 -\frac{\sqrt3}{2} =4\pi -\frac{9\sqrt3}{2}.

Passo 6

Agora reunimos tudo:
  • As duas parcelas do cardioide dão 2\bigl(4\pi -\tfrac{9\sqrt3}{2}\bigr).
  • A parcela do círculo é
\frac12\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\frac{4\pi}{3}}9\,d\theta = \frac12\cdot9\cdot\Bigl(\tfrac{4\pi}{3}-\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) = \frac12\cdot9\cdot\frac{2\pi}{3} =3\pi.
Somando e incluindo o fator \tfrac12 inicial corretamente, chegamos a
\text{Área} = \frac12\Bigl[2\bigl(4\pi -\tfrac{9\sqrt3}{2}\bigr)+9\cdot\tfrac{2\pi}{3}\Bigr] = \bigl(4\pi -\tfrac{9\sqrt3}{2}\bigr)+3\pi =7\pi -\frac{9\sqrt3}{2}.Á

Resposta

A área da região comum é
7\pi - \frac{9\sqrt3}{2}.

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