Calcule a área da região:
Interior à r=2-\cos \theta e r=1+\cos \theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que é interior às duas curvas polares
r = 2 - \cos\theta
e
r = 1 + \cos\theta.
Em coordenadas polares, a área de uma região limitada por r=f(\theta) de \theta=a a \theta=b é
A = \frac12 \int_{a}^{b} \bigl(f(\theta)\bigr)^{2}\,d\theta.
Aqui queremos a parte onde r satisfaz simultaneamente
r \le 2 - \cos\theta \quad\text{e}\quad r \le 1 + \cos\theta,
ou seja, r vai de 0 até \min\{2-\cos\theta,\;1+\cos\theta\}.

Passo 2

Para achar onde as duas curvas se cruzam, igualamos
2 - \cos\theta = 1 + \cos\theta \;\Longrightarrow\; 1 = 2\cos\theta \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; \theta = \pm \tfrac{\pi}{3}\pmod{2\pi}.

Passo 3

Precisamos saber, em cada intervalo de \theta, qual das duas funções é a menor.
Calculemos
(2 - \cos\theta) - (1 + \cos\theta) = 1 - 2\cos\theta.
I. Se \cos\theta > \tfrac12 (ou seja \theta\in(-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3})), então 1-2\cos\theta<0 e
2 - \cos\theta < 1 + \cos\theta,
logo o limite radial é r=2-\cos\theta.
II. Se \cos\theta<\tfrac12 (ou seja \theta\in(\tfrac{\pi}{3},5\tfrac{\pi}{3})), então 1-2\cos\theta>0 e
1 + \cos\theta < 2 - \cos\theta,
logo o limite radial é r=1+\cos\theta.

Passo 4

Portanto a área total é
A = \frac12 \Biggl( \int_{-\pi/3}^{\pi/3}(2 - \cos\theta)^{2}\,d\theta \;+\; \int_{\pi/3}^{5\pi/3}(1 + \cos\theta)^{2}\,d\theta \Biggr).

Passo 5

Usando \cos^{2}\theta = \tfrac12(1+\cos2\theta), encontramos primitivas:
\int (2 - \cos\theta)^{2}d\theta = \int\bigl(4 -4\cos\theta+\cos^{2}\theta\bigr)d\theta = 4\theta -4\sin\theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C,
\int (1 + \cos\theta)^{2}d\theta = \int\bigl(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta\bigr)d\theta = \frac{3\theta}{2} + 2\sin\theta + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C.

Passo 6

Avaliando de -\tfrac{\pi}{3} a \tfrac{\pi}{3} para a primeira e de \tfrac{\pi}{3} a 5\tfrac{\pi}{3} para a segunda, obtemos after simplificar
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}(2-\cos\theta)^{2}d\theta = 3\pi - \frac{15\sqrt3}{4}, \quad \int_{\pi/3}^{5\pi/3}(1+\cos\theta)^{2}d\theta = 2\pi - \frac{9\sqrt3}{4}.
Logo
A = \frac12\Bigl(3\pi - \tfrac{15\sqrt3}{4} + 2\pi - \tfrac{9\sqrt3}{4}\Bigr) = \frac12\Bigl(5\pi - \tfrac{24\sqrt3}{4}\Bigr) = \frac{5\pi}{2} - 3\sqrt3.

Resposta

\boxed{A = \frac{5\pi}{2} - 3\sqrt3.}

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