1. Calcule a área da região interior à r=4 cos theta e exterior à r=4(1- cos theta).

Passo 1

O enunciado pede a área da região que satisfaz simultaneamente estar interior à curva ,r=4costheta e exterior à curva ,r=4(1-costheta). O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
A=integraltheta1^theta2integralrmin^rmaxr,dr,dtheta

Passo 2

Para existir região com
4(1-costheta)<= r<= 4costheta
precisamos ter
4(1-costheta)<=4costheta Longrightarrow 1-costheta<=costheta Longrightarrow costheta>=12
Logo
-pi3<=theta<=pi3

Passo 3

A área é
A=integral-pi/3^pi/3integral4(1-costheta)^4costhetar,dr,dtheta
Calculamos primeiro a integral em r:
integral4(1-costheta)^4costhetar,dr =12l[(4costheta)^2-(4(1-costheta))^2r]

Passo 4

Simplificando a diferença de quadrados:
(4costheta)^2- (4(1-costheta))^2 =16cos^2theta-16l(1-2costheta+cos^2thetar) =16(2costheta-1)
Portanto
integral4(1-costheta)^4costhetar,dr =12cdot16(2costheta-1) =16costheta-8

Passo 5

Substituindo na integral de área:
A=integral-pi/3^pi/3(16costheta-8),dtheta =16integral-pi/3^pi/3costheta,dtheta -8integral-pi/3^pi/3dtheta
Calculamos
integral-pi/3^pi/3costheta,dtheta =sintheta|-pi/3^pi/3 =raiz3,
integral-pi/3^pi/3dtheta =2pi3
Logo
A=16raiz3-8cdot2pi3 =16raiz3-16pi3

Resposta

A=16raiz3-16pi3

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