Verifique se a convergência ou a divergência da integral
integral0^1 1(1+x) raizx d x
Se convergir calcule seu valor.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral0^1 1(1+x)raizx,dx
e, caso ela converja, calcular seu valor. O conteúdo envolve teste de convergência para singularidade em x=0 e, em seguida, uma técnica de substituição para avaliar a integral.

Passo 2

Analisamos o comportamento em xto0^+. Como 1+xto1, temos
1(1+x)raizxsim1raizx(xto0^+)
E sabemos que
integral0^varepsilon x^-tfrac12,dx = 2,x^tfrac12|0^varepsilon=2raizvarepsilon<infty
Logo a integral converge na vizinhança de 0. Como o integrando é contínuo em (0,1], concluímos que a integral imprópria converge.

Passo 3

Para calcular o valor, fazemos a substituição
x = t^2, dx = 2t,dt, raizx=t,
com t variando de 0 a 1. Então
integral0^11(1+x)raizx,dx = integral0^11(1+t^2),tcdot2t,dt = 2integral0^111+t^2,dt =2l[arctan tr]0^1 =2cdotpi4 =pi2

Resposta

A integral converge e seu valor é pi2.

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