- (a) Encontre as simetrias do gráfico de equação
.
(b) Faça o gráfico de
.
(b) Faça o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a curva em coordenadas polares dada por
Conteúdo: simetrias em coordenadas polares e esboço do gráfico. Vamos usar propriedades de invariância de
sob certas transformações de ângulo e depois determinar onde a curva existe (
) para desenhar as pétalas.
Passo 2
Testamos as transformações usuais em
e vemos como
se comporta:
-
Para
: logo há simetria em relação ao eixo polar (, i.e.\ eixo ). -
Para
: logo há simetria em relação à reta(eixo ). -
Para
: o que implica simetria central (origem).
Passo 3
Para ter
real precisamos de
Isso gera duas pétalas:
- uma para
, ou seja , - outra para
, ou seja .
Passo 4
Esboço de uma pétala (para
):
- Em
, dá . - Em
, dá .
O traçado sai da origem, atinge o pontoe volta à origem, formando uma pétala simétrica em relação ao eixo . A segunda pétala aparece por simetria central (ou aplicando ) e fica apontada para a esquerda.
Resposta
(a) A curva é simétrica em relação ao eixo polar (
), à reta
e ao centro (origem).
(b) O gráfico é a lemniscata de Bernoulli com duas pétalas de comprimento máximo , uma apontada para a direita (para
) e outra para a esquerda (para
).
(b) O gráfico é a lemniscata de Bernoulli com duas pétalas de comprimento máximo