1. (a) Encontre as simetrias do gráfico de equação r^2=4 cos (2 theta).
    (b) Faça o gráfico de r^2=4 cos (2 theta).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a curva em coordenadas polares dada por
r^2=4cos(2theta),
Conteúdo: simetrias em coordenadas polares e esboço do gráfico. Vamos usar propriedades de invariância de r(theta) sob certas transformações de ângulo e depois determinar onde a curva existe ( cos(2theta)>=0) para desenhar as pétalas.

Passo 2

Testamos as transformações usuais em theta e vemos como r^2 se comporta:
  • Para thetamapsto -theta:
    r^2(-theta)=4cosl(2(-theta)r)=4cos(2theta)=r^2(theta),
    logo há simetria em relação ao eixo polar ( theta=0, i.e.\ eixo x).
  • Para thetamapsto pi-theta:
    r^2(pi-theta)=4cosl(2pi-2thetar)=4cos(2theta)=r^2(theta),
    logo há simetria em relação à reta theta=tfracpi2 (eixo y).
  • Para thetamapstotheta+pi:
    r^2(theta+pi)=4cosl(2theta+2pir)=4cos(2theta)=r^2(theta),
    o que implica simetria central (origem).

Passo 3

Para ter r real precisamos de
cos(2theta)>=0 Long<=ftrightarrow 2thetainl[-tfracpi2+2kpi,;tfracpi2+2kpir] ;Longrightarrow; thetainl[-tfracpi4+kpi,;tfracpi4+kpir]
Isso gera duas pétalas:
  • uma para k=0, ou seja thetain[-tfracpi4,tfracpi4],
  • outra para k=1, ou seja thetain[tfrac3pi4,tfrac5pi4].

Passo 4

Esboço de uma pétala (para thetain[-tfracpi4,tfracpi4]):
r(theta)=2raizcos(2theta)
  • Em theta=0, cos(0)=1 r=2.
  • Em theta=pmtfracpi4, cos(pmtfracpi2)=0 r=0.
    O traçado sai da origem, atinge o ponto (r=2,theta=0) e volta à origem, formando uma pétala simétrica em relação ao eixo x. A segunda pétala aparece por simetria central (ou aplicando thetamapstotheta+pi) e fica apontada para a esquerda.

Resposta

(a) A curva é simétrica em relação ao eixo polar ( theta=0), à reta theta=tfracpi2 e ao centro (origem).
(b) O gráfico é a lemniscata de Bernoulli com duas pétalas de comprimento máximo r=2, uma apontada para a direita (para thetain[-tfracpi4,tfracpi4]) e outra para a esquerda (para thetain[tfrac3pi4,tfrac5pi4]).

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