Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais gerados pelas funções abaixo. Definamos como . Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço , ache a matriz que representa e nos seguintes casos: é gerado por {\operatorname{sen}(x), \cos (x), x \operatorname{sen}(x), x \cos (x)}).
Passo 1
O enunciado pede para representar, na base
o operador derivada e o seu quadrado . Ou seja, vamos calcular em termos dos vetores da base e montar a matriz cujas colunas são as coordenadas de ; em seguida, obteremos a matriz de .
Passo 2
Calculemos sobre cada vetor da base e escrevamos como combinação linear dos quatro:
Em coordenadas da base isso é
Logo
Então
Assim
Passo 3
A matriz de na ordem da base listada tem como colunas as coordenadas acima. Logo,
Para obter [D^2] podemos ou aplicar novamente D às colunas de [D] ou simplesmente calcular [D]^2. Feito o produto, resulta