Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais V gerados pelas funções abaixo. Definamos D: V V como D(f)=d fd x. Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço V, ache a matriz que representa D e D^2 nos seguintes casos:
V é gerado por {\operatorname{sen}(x), \cos (x), x \operatorname{sen}(x), x \cos (x)}).

Passo 1

O enunciado pede para representar, na base
lsin(x),;cos(x),;xsin(x),;xcos(x)r,
o operador derivada D e o seu quadrado D^2. Ou seja, vamos calcular D(ej) em termos dos vetores da base e montar a matriz cujas colunas são as coordenadas de D(ej); em seguida, obteremos a matriz de D^2.

Passo 2

Calculemos D sobre cada vetor da base e escrevamos como combinação linear dos quatro:
  1. Dl(sin(x)r)=cos(x)
    Em coordenadas da base isso é
    D(sin(x)) = 0cdotsin(x) + 1cdotcos(x) + 0cdot xsin(x) + 0cdot xcos(x)
  2. Dl(cos(x)r)=-sin(x)
    Logo
    D(cos(x)) =(-1)sin(x) + 0cos(x) + 0,xsin(x) +0,xcos(x)
  3. Dl(xsin(x)r)=sin(x)+xcos(x)
    Então
    D(xsin(x)) =1cdotsin(x) + 0cdotcos(x) + 0cdot xsin(x) +1cdot xcos(x)
  4. Dl(xcos(x)r)=cos(x)-xsin(x)
    Assim
    D(xcos(x)) =0cdotsin(x) +1cdotcos(x) +(-1)cdot xsin(x) +0cdot xcos(x)

Passo 3

A matriz de D na ordem da base listada tem como colunas as coordenadas acima. Logo,
[D] = 0 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0
Para obter [D^2] podemos ou aplicar novamente D às colunas de [D] ou simplesmente calcular [D]^2. Feito o produto, resulta
[D^2] = -1 & 0 & 0 & -2 0 & -1& 2 & 0 0 & 0 & -1& 0 0 & 0 & 0 & -1

Resposta

[D] = 0 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 , [D^2] = -1 & 0 & 0 & -2 0 & -1& 2 & 0 0 & 0 & -1& 0 0 & 0 & 0 & -1

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