Calcule a área da região R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 2 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 2\le x^2+y^2\le4,\;y\ge1\}.
Este é um anel (raios \sqrt2 e 2) recortado pela reta y=1. Vamos usar coordenadas polares para descrever e calcular a área.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. As condições se traduzem em
\sqrt2 \le r\le2, \qquad r\sin\theta\ge1.
Além disso, como y\ge1>0, só interessa \theta\in(0,\pi).

Passo 3

Da desigualdade r\sin\theta\ge1 vem r\ge1/\sin\theta. Para cada \theta o limite inferior de r é
r_{\min}=\max\bigl(\sqrt2,\;1/\sin\theta\bigr),
e o superior é r_{\max}=2, desde que r_{\min}\le2.
A condição 1/\sin\theta\le2 equivale a \sin\theta\ge1/2, isto é
\theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\bigr].
Dentro deste intervalo distinguimos:
  • Se \sin\theta\ge1/\sqrt2 (ou seja \theta\in[\pi/4,3\pi/4]), então 1/\sin\theta\le\sqrt2 e assim r_{\min}=\sqrt2.
  • Se 1/2\le\sin\theta<1/\sqrt2 (ou seja \theta\in[\pi/6,\pi/4)\cup(3\pi/4,5\pi/6]), então r_{\min}=1/\sin\theta.

Passo 4

A área é
A=\iint_{R}dA =\int_{\theta=\pi/6}^{5\pi/6}\!\!\int_{r=r_{\min}}^{2}r\,dr\,d\theta.
Separamos em três trechos de \theta:
A =\int_{\pi/6}^{\pi/4}\!\int_{1/\sin\theta}^{2}r\,dr\,d\theta +\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\!\int_{\sqrt2}^{2}r\,dr\,d\theta +\int_{3\pi/4}^{5\pi/6}\!\int_{1/\sin\theta}^{2}r\,dr\,d\theta.
Em cada integral interior
\int_{r=a}^{2}r\,dr =\frac{1}{2}\bigl(2^2-a^2\bigr) =\frac{1}{2}(4-a^2).
Logo, usando a simetria entre [\pi/6,\pi/4] e [3\pi/4,5\pi/6], obtemos
A =\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\frac{1}{2}(4-(\sqrt2)^2)\,d\theta +2\int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{1}{2}\bigl(4-(1/\sin\theta)^2\bigr)\,d\theta.
Note que \tfrac12(4-2)=1, então a primeira integral vale
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}1\,d\theta =\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}.
Na segunda,
\frac{1}{2}\bigl(4-\csc^2\theta\bigr) =2-\frac{1}{2}\csc^2\theta,
e
\int_{\pi/6}^{\pi/4}\csc^2\theta\,d\theta =\bigl[-\cot\theta\bigr]_{\pi/6}^{\pi/4} =-\cot\!\tfrac{\pi}{4}+\cot\!\tfrac{\pi}{6} =-1+\sqrt3.
Portanto
2\int_{\pi/6}^{\pi/4}\Bigl(2-\tfrac12\csc^2\theta\Bigr)d\theta =2\Bigl[2(\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{6}) -\tfrac12(-1+\sqrt3)\Bigr] =\frac{\pi}{3}-(\sqrt3-1).

Passo 5

Somando as duas partes:
A =\frac{\pi}{2} +\Bigl(\frac{\pi}{3}-(\sqrt3-1)\Bigr) =\frac{5\pi}{6}+1-\sqrt3.

Resposta

\boxed{A=\frac{5\pi}{6}+1-\sqrt3.}

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