\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x}{2 x^{2}+5 x-8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{2x^{2} + 5x - 8}.
O conteúdo envolvido é limite de função racional no infinito, e a ideia é usar a dominância dos termos de maior grau.

Passo 2

Reescrevemos a expressão dividindo numerador e denominador por x^{2}:
\frac{3x}{2x^{2} + 5x - 8} = \frac{\displaystyle \frac{3x}{x^{2}}}{\displaystyle \frac{2x^{2} + 5x - 8}{x^{2}}} = \frac{3/x}{2 + 5/x - 8/x^{2}}.

Passo 3

Quando x \to \infty, temos
\tfrac{3}{x}\to 0, \tfrac{5}{x}\to 0 e \tfrac{8}{x^{2}}\to 0.
Portanto
\frac{3/x}{2 + 5/x - 8/x^{2}} \;\longrightarrow\; \frac{0}{2+0-0} \;=\;0.

Resposta

0

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