Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{-x}+2 \cos 3 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\bigl(e^{-x}+2\cos 3x\bigr).
O conteúdo principal é análise de limites de soma de funções, uma exponencial decrescente e uma função trigonométrica oscilante. Vamos estudar cada parcela separadamente e depois ver o comportamento da soma.

Passo 2

Analisamos o termo exponencial. Como a função e^{-x} decai rapidamente para zero quando x cresce, temos
\lim_{x\to\infty}e^{-x} = 0.

Passo 3

Agora olhamos para 2\cos3x. Sabemos que \cos3x oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de valor fixo conforme x\to\infty. Portanto
2\cos3x\in[-2,2]
e não possui limite quando x\to\infty.

Passo 4

A soma de um termo que tende a zero e de um termo oscilante continuará oscilando. Formalmente, considere as sequências
x_n = \frac{2\pi n}{3} \quad\text{e}\quad y_n = \frac{\pi(2n+1)}{3},
para n\in\mathbb{N}. Então
\cos(3x_n)=\cos(2\pi n)=1 \quad\Longrightarrow\quad e^{-x_n}+2\cos3x_n\to 0+2=2,
\cos(3y_n)=\cos\bigl((2n+1)\pi\bigr)=-1 \quad\Longrightarrow\quad e^{-y_n}+2\cos3y_n\to 0-2=-2.
Como as duas subsequências do termo dado convergem a valores diferentes ( 2 e -2), não existe limite único quando x\to\infty.

Resposta

O limite não existe.

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