Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordendas polares;
(laço inteiro).
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente calcular a área da região fechada pelo laço inteiro da curva polar
O assunto aqui é “cálculo de áreas em coordenadas polares” e vamos usar a fórmula
Além disso, precisamos achar onde a curva se anula (quando
) para determinar os limites de integração do laço.
Passo 2
A gente resolve
No intervalo
isso acontece em
Esses dois valores são justamente os ângulos que fazem o “laço” nascer e morrer na origem.
Passo 3
Montamos a integral da área do laço inteiro:
Expandindo o quadrado:
E usando a identidade
, a gente reescreve o integrando como
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
Logo
Passo 5
Substituindo em cada limite:
Para
:
-
-
→ -
→
Soma:
Para
:
-
-
→ -
→
Soma:
A diferença é
Então
Resposta
A área do laço inteiro da curva
é