Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordendas polares;
rho=1+2 sen(theta) (laço inteiro).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a área da região fechada pelo laço inteiro da curva polar
rho = 1 + 2sintheta
O assunto aqui é “cálculo de áreas em coordenadas polares” e vamos usar a fórmula
A ;=; 12 integral r^2 ,dtheta
Além disso, precisamos achar onde a curva se anula (quando rho=0) para determinar os limites de integração do laço.

Passo 2

A gente resolve
1 + 2sintheta = 0 ;Longrightarrow; sintheta = -tfrac12
No intervalo [0,2pi) isso acontece em
theta1 = tfrac7pi6, theta2 = tfrac11pi6
Esses dois valores são justamente os ângulos que fazem o “laço” nascer e morrer na origem.

Passo 3

Montamos a integral da área do laço inteiro:
A = 12 integraltheta1^theta2 l(1+2sinthetar)^2 ,dtheta = 12 integral7pi6^11pi6 (1+2sintheta)^2 ,dtheta
Expandindo o quadrado:
(1+2sintheta)^2 = 1 + 4sintheta + 4sin^2theta
E usando a identidade
sin^2theta=tfrac1-cos2theta2, a gente reescreve o integrando como
1 + 4sintheta + 4cdot 1-cos2theta2 = 3 + 4sintheta - 2cos2theta

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integrall(3 + 4sintheta - 2cos2thetar),dtheta = 3theta ;-;4costheta ;-;sin2theta ;+; C
Logo
A = 12 l[,3theta - 4costheta - sin2thetar]7pi6^11pi6

Passo 5

Substituindo em cada limite:
Para theta = tfrac11pi6:
  • 3theta = tfrac11pi2
  • cos11pi6 = tfracraiz32 -4costheta = -2raiz3
  • sin2theta = sin11pi3 = sin5pi3 = -tfracraiz32 -sin2theta = +tfracraiz32
    Soma: dfrac11pi2 - 2raiz3 + tfracraiz32 = dfrac11pi2 - dfrac3raiz32
Para theta = tfrac7pi6:
  • 3theta = tfrac7pi2
  • cos7pi6 = -tfracraiz32 -4costheta = +2raiz3
  • sin2theta = sin7pi3 = sinpi3 = tfracraiz32 -sin2theta = -tfracraiz32
    Soma: dfrac7pi2 + 2raiz3 - tfracraiz32 = dfrac7pi2 + dfrac3raiz32
A diferença é
l(tfrac11pi2 - tfrac3raiz32r) - l(tfrac7pi2 + tfrac3raiz32r) = tfrac4pi2 - tfrac6raiz32 = 2pi - 3raiz3
Então
A = 12l(2pi - 3raiz3r) = pi - 3raiz32

Resposta

A área do laço inteiro da curva rho=1+2sintheta é
boxedA = pi ;-;3raiz32

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