Se f=2 x^3 y z e v=x^3 i+x z j+sen(x) k, calcular:
( De<a f)+\operatorname{rot}(\vec{v}))

Passo 1

O enunciado dá a função escalar
f(x,y,z)=2,x^3y,z
e o campo vetorial
vec v(x,y,z)=x^3,vec i ;+;x,z,vec j;+;sin(x),vec k
e pede que a gente calcule a Laplaciana de f, isto é
De<a f=partial^2fpartial x^2+partial^2fpartial y^2+partial^2fpartial z^2,
e também o rotacional de vec v, isto é
nablatimesvec v.

Passo 2

Vamos achar De<a f. Primeiro calculamos as derivadas parciais de segunda ordem de f:
partial fpartial x =6,x^2y,z, partial^2fpartial x^2 =12,x,y,z
Como
partial fpartial y =2,x^3z, partial^2fpartial y^2=0, partial fpartial z =2,x^3y, partial^2fpartial z^2=0,
a Laplaciana fica
De<a f =12,x,y,z + 0 + 0 =12,x,y,z

Passo 3

Agora calculamos o rotacional de vec v usando
nablatimesvec v = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz x^3 & x,z & sin(x)
Isso dá componente a componente:
(nablatimesvec v)x =partialpartial y!l(sin(x)r) -partialpartial z!(x,z) =0 - x =-x,
(nablatimesvec v)y =partialpartial z!(x^3) -partialpartial x!l(sin(x)r) =0 - cos(x) =-cos(x),
(nablatimesvec v)z =partialpartial x!(x,z) -partialpartial y!(x^3) =z - 0 =z
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nablatimesvec v =-x,vec i ;-;cos(x),vec j;+;z,vec k

Resposta

De<a f=12,x,y,z
nablatimesvec v=-x,vec i-cos(x),vec j+z,vec k

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