Calcule a área da região limitada pelas curvas:
(d)
e
(R: 28/3)
(d)
(R: 28/3)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região fechada pelas retas x=−3, x=2, pelo eixo y=0 e pela curva y=f(x)=−x²−2x. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração de funções no plano. Para resolver, vamos usar integrais definidas e reconhecer que a área é dada por ∫|f(x)|dx, identificando onde f(x) muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos em que a curva cruza o eixo y=0, ou seja, as raízes de f(x)=−x²−2x. Resolvendo −x²−2x=0, temos x(x+2)=0, logo as raízes são x=0 e x=−2.
Passo 3
Observando o sinal de f(x) em cada subintervalo de x∈[−3,2]: em [−3,−2], f(x)<0; em [−2,0], f(x)>0; e em [0,2], f(x)<0. Por isso, dividimos o cálculo da área em três integrais, usando 0−f(x) quando f(x)<0 e f(x)−0 quando f(x)>0.
Passo 4
Em [−3,−2] e [0,2], f(x) é negativa, então a área parcial é ∫(0−f(x))dx=∫(x²+2x)dx. Em [−2,0], f(x) é positiva, então a área parcial é ∫(f(x)−0)dx=∫(−x²−2x)dx. Calculamos cada uma:
Intervalo [−3,−2]:
Intervalo [−3,−2]:
Passo 5
Intervalo [−2,0]:
Passo 6
Intervalo [0,2]:
Passo 7
Somando as três contribuições temos a área total: