Calcule a área da região limitada pelas curvas:
(d) x=-3, x=2, y=0 e f(x)=-x^2-2 x
(R: 28/3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região fechada pelas retas x=−3, x=2, pelo eixo y=0 e pela curva y=f(x)=−x²−2x. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração de funções no plano. Para resolver, vamos usar integrais definidas e reconhecer que a área é dada por ∫|f(x)|dx, identificando onde f(x) muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos em que a curva cruza o eixo y=0, ou seja, as raízes de f(x)=−x²−2x. Resolvendo −x²−2x=0, temos x(x+2)=0, logo as raízes são x=0 e x=−2.

Passo 3

Observando o sinal de f(x) em cada subintervalo de x∈[−3,2]: em [−3,−2], f(x)<0; em [−2,0], f(x)>0; e em [0,2], f(x)<0. Por isso, dividimos o cálculo da área em três integrais, usando 0−f(x) quando f(x)<0 e f(x)−0 quando f(x)>0.

Passo 4

Em [−3,−2] e [0,2], f(x) é negativa, então a área parcial é ∫(0−f(x))dx=∫(x²+2x)dx. Em [−2,0], f(x) é positiva, então a área parcial é ∫(f(x)−0)dx=∫(−x²−2x)dx. Calculamos cada uma:
Intervalo [−3,−2]:
integral-3^-2(x^2+2x),dx=gl[x^33+x^2gr]-3^-2=l(!-83+4r)-l(!-273+9r)=43

Passo 5

Intervalo [−2,0]:
integral-2^0(-x^2-2x),dx=-gl[x^33+x^2gr]-2^0=-l(0-tfrac43r)=43

Passo 6

Intervalo [0,2]:
integral0^2(x^2+2x),dx=gl[x^33+x^2gr]0^2=83+4=203

Passo 7

Somando as três contribuições temos a área total:
A=43+43+203=283

Resposta

283

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