Obtenha as derivadas parciais indicadas em cada item:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais de ordem mista e total:
e
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função de duas variáveis em relação a uma ou mais dessas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial é a derivada de uma função multivariável em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Quando falamos de derivadas de ordem superior, como
, estamos derivando várias vezes em sequência. Vamos começar chamando atenção para
, que significa que vamos derivar a função primeiro duas vezes em relação a
e depois uma vez em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
novamente em relação a
:
Por fim, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a derivada parcial terceira da função em relação a
três vezes. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
novamente em relação a
:
Finalmente, derivamos
mais uma vez em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são: