Obtenha as derivadas parciais indicadas em cada item: f(x, y)=3 x y^4+x^3 y^2, fx x y, fy y y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas parciais de ordem mista e total: e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função de duas variáveis em relação a uma ou mais dessas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial é a derivada de uma função multivariável em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Quando falamos de derivadas de ordem superior, como , estamos derivando várias vezes em sequência. Vamos começar chamando atenção para , que significa que vamos derivar a função primeiro duas vezes em relação a e depois uma vez em relação a .

Passo 3

Vamos calcular fx = partialpartial x(3xy^4 + x^3y^2) = 3y^4 + 3x^2y^2 . Primeiro, derivamos fxx = partialpartial x(3y^4 + 3x^2y^2) = 6xy^2 em relação a fxxy = partialpartial y(6xy^2) = 12xy :
Agora, derivamos novamente em relação a :
Por fim, derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular fy = partialpartial y(3xy^4 + x^3y^2) = 12xy^3 + 2x^3y , que é a derivada parcial terceira da função em relação a fyy = partialpartial y(12xy^3 + 2x^3y) = 36xy^2 + 2x^3 três vezes. Primeiro, derivamos fyyy = partialpartial y(36xy^2 + 2x^3) = 72xy em relação a :
Em seguida, derivamos novamente em relação a :
Finalmente, derivamos mais uma vez em relação a :

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
fxxy = 12xy e fyyy = 72xy

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