Obtenha as derivadas parciais indicadas em cada item:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de uma função dada. Estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. A função que temos é
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar exponenciais e funções trigonométricas em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Isso significa que vamos derivar
tratando
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Vamos usar a regra do produto para derivar essa função:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada mista: primeiro derivamos
em relação a
(que já fizemos no passo anterior) e depois derivamos o resultado em relação a
.
Temos:
Derivando isso em relação a
:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são: