Obtenha as derivadas parciais indicadas em cada item: v=e^r theta sen(theta), vtheta, vr theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de uma função dada. Estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. A função que temos é . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar exponenciais e funções trigonométricas em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar vtheta = partialpartial theta ( e^r theta sin(theta) ) = e^r theta cos(theta) + r e^r theta sin(theta) , que é a derivada de vtheta = e^r theta ( cos(theta) + r sin(theta) ) em relação a . Isso significa que vamos derivar tratando como uma constante.
A derivada de em relação a é , e a derivada de é . Vamos usar a regra do produto para derivar essa função:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos encontrar vtheta = e^r theta ( cos(theta) + r sin(theta) ) , que é a derivada mista: primeiro derivamos vr theta = partialpartial r ( e^r theta cos(theta) + r e^r theta sin(theta) ) = theta e^r theta cos(theta) + e^r theta sin(theta) + r theta e^r theta sin(theta) em relação a vr theta = e^r theta ( theta cos(theta) + sin(theta) + r theta sin(theta) ) (que já fizemos no passo anterior) e depois derivamos o resultado em relação a .
Temos:
Derivando isso em relação a :
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
vtheta = e^r theta ( cos(theta) + r sin(theta) )
vr theta = e^r theta ( theta cos(theta) + sin(theta) + r theta sin(theta) )

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