1. Calcule a área da região limitada pelas curvas r=theta, r=pi2 e a semireta x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas r=theta, r=pi2 e pela semirreta x>= 0. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares, onde o elemento de área é
dA = r,dr,dtheta
e podemos montar a integral dupla
A = integralthetamin^thetamaxintegralrmin(theta)^rmax(theta)r,dr,dtheta

Passo 2

Precisamos determinar os limites de theta. A condição x>= 0 em polares é rcostheta>= 0, ou seja costheta>=0 e daí
-pi2<=theta<=pi2
Como a curva r=theta exige r>=0, só vale para theta>=0. Além disso, a interseção de r=theta com r=pi2 theta=pi2. Logo
0<=theta<=pi2

Passo 3

Para cada thetain[0,tfracpi2], r varia de rmin(theta)=theta até rmax(theta)=tfracpi2. Assim
A = integral0^pi2integraltheta^pi2 r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integraltheta^pi2r,dr = [r^22]r=theta^r=pi2 = 12l(l(tfracpi2r)^2 - theta^2r) = pi^28-theta^22
Logo
A = integral0^pi2l(pi^28-theta^22r),dtheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pi2pi^28,dtheta = pi^28cdotpi2 = pi^316, integral0^pi2theta^22,dtheta = 12cdot(pi2)^33 = pi^348
Portanto
A = pi^316-pi^348 = 3pi^3-pi^348 = pi^324

Resposta

pi^324

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