Mostre que as sequências abaixo são convergentes.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
pede-se mostrar que
é convergente. O conteúdo que vamos usar é o critério da convergência de sequências monótonas e limitadas.
Passo 2
Note que para todo
temos
. Logo a sequência está limitada inferiormente por
.
Passo 3
Vamos verificar que
é monótona decrescente. Considere a razão
Como
para todo
, segue que
. Portanto
é decrescente.
Passo 4
Por ser positiva (limitada inferiormente) e monótona decrescente, a sequência
converge (Teorema da convergência de sequências monótonas).
Resposta
A sequência
é convergente, pois é monótona decrescente e limitada inferiormente por
.