Mostre que as sequências abaixo são convergentes.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n).

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = 1cdot 3cdot 5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n),
pede-se mostrar que (an) é convergente. O conteúdo que vamos usar é o critério da convergência de sequências monótonas e limitadas.

Passo 2

Note que para todo n temos an>0. Logo a sequência está limitada inferiormente por 0.

Passo 3

Vamos verificar que (an) é monótona decrescente. Considere a razão
an+1an =1cdot3cdotcdotscdot(2n-1)cdot(2n+1)% 2cdot4cdotcdotscdot(2n)cdot(2n+2);g/;1cdot3cdotcdotscdot(2n-1)2cdot4cdotcdotscdot(2n) =2n+12n+2
Como 2n+12n+2<1 para todo n, segue que an+1<an. Portanto (an) é decrescente.

Passo 4

Por ser positiva (limitada inferiormente) e monótona decrescente, a sequência l(anr) converge (Teorema da convergência de sequências monótonas).

Resposta

A sequência
an = 1cdot 3cdot 5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n)
é convergente, pois é monótona decrescente e limitada inferiormente por 0.

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